将euler转换为矩阵,将矩阵转换为euler

Question

我正在尝试使用.NET/C#将使用欧拉角度描述的3D旋转转换为矩阵然后返回.我的约定是:

• 左撇子系统(x右,y上,z前进)
• 旋转顺序:绕y前进,绕x旋转,绕z倾斜
• 使用左手规则(拇指指向+无穷大)旋转是正的

我的试用期是:

Euler到矩阵(为了简化,我删除了x,y,z平移部分)

Matrix3D matrix = new Matrix3D() {
    M11 =   cosH * cosB - sinH * sinP * sinB,
    M12 = - sinB * cosP,
    M13 =   sinH * cosB + cosH * sinP * sinB,
    M21 =   cosH * sinB + sinH * sinP * cosB,
    M22 =   cosB * cosP,
    M23 =   sinB * sinH - cosH * sinP * cosB,
    M31 = - sinH * cosP,
    M32 = - sinP,
    M33 =   cosH * cosP,
};

矩阵到欧拉

const double RD_TO_DEG = 180 / Math.PI;            
double h, p, b; // angles in degrees

// extract pitch
double sinP = -matrix.M23;            
if (sinP >= 1) {
    p = 90; }       // pole
else if (sinP <= -1) {
    p = -90; } // pole
else {
    p = Math.Asin(sinP) * RD_TO_DEG; }             

// extract heading and bank
if (sinP < -0.9999 || sinP > 0.9999) { // account for small angle errors
    h = Math.Atan2(-matrix.M31, matrix.M11) * RD_TO_DEG;
    b = 0; }
else {
    h = Math.Atan2(matrix.M13, matrix.M33) * RD_TO_DEG;
    b = Math.Atan2(matrix.M21, matrix.M22) * RD_TO_DEG; }

一定是错的.如果我采用3个角度,将它们转换为矩阵并将矩阵转换回角度,结果如果与初始值不同.

我已经浏览了几个具有不同公式的网站,从euclideanspace.com开始,但我现在完全迷失了,无法找到正确的计算方法.我很感激一点帮助.船上有数学家吗？

Answer 1

首先,应该:

sinP = -matrix.M32

编辑:完整的解决方案如下

我的推导:

Rx(P)=| 1      0       0 |
      | 0  cos P  -sin P |
      | 0  sin P   cos P |

Ry(H)=|  cos H  0  sin H |
      |      0  1      0 |
      | -sin H  0  cos H |

Rz(B)=| cos B  -sin B  0 |
      | sin B   cos B  0 |
      |     0       0  1 |

乘以您的订购:

R = Ry(H)*Rx(P)*Rz(B)
  = | cos H*cos B+sin H*sin P*sin B  cos B*sin H*sin P-sin B*cos H  cos P*sin H |
    |                   cos P*sin B                    cos B*cos P       -sin P |
    | sin B*cos H*sin P-sin H*cos B  sin H*sin B+cos B*cos H*sin P  cos P*cos H |

这提供了反向推导:

tan B = M12/M22

sin P = -M32

tan H = M31/M33

Answer 2

这些函数有大量组合，因为答案会根据您的约定而变化。我通常使用 DirectX 和与 Unity 相同的约定。另外我的背景是飞行模拟、空间和地图，所以偏航然后俯仰然后滚动匹配纬度/经度风格。

不清楚约定或不匹配的组合/分解功能会导致非常奇怪的错误。同样值得记住的是，多组欧拉角可以产生相同的方向。

约定（如上）：

• 欧拉角：X = 俯仰，Y = 偏航，Z = 滚动
• 欧拉顺序：应用旋转，偏航然后俯仰然后滚动
• 轴：+X​​ 向右，+Y 向上，+Z 向前
• 矩阵：DirectX 约定（使用 MS DirectXTK 中的 SimpleMath.h）

要转换为 OpenGL 版本，请查看此.

我采用了Mike Tunnicliffe的答案并将其转换为 C++ 代码并将其添加到我的库中。我希望其他人可以通过使用它来节省一些时间。

值得注意的是，compose 函数将第 4 列和平移分量清除为同一，分解函数假定 3x3 旋转元素包含纯旋转（即无缩放等）。

首先是从欧拉生成矩阵的代码：

//====================================================================================================
// MatrixFromYawPitchRoll
//
// Create matrix based on provided yaw (heading), pitch and roll (bank).
//
// Assumptions:
//  Euler:   X = Pitch, Y = Yaw, Z = Roll
//  Applied: Yaw then pitch then roll
//  Axes:    X = Right, Y = Up, Z = Forward
//  DirectX: Matrices are row major (http://www.mindcontrol.org/~hplus/graphics/matrix-layout.html)
//
// Code is based on Mike Tunnicliffe's answer to this question:
//   /sf/ask/139787021/
inline void MatrixFromYawPitchRoll(
    const DirectX::SimpleMath::Vector3& euler,
    DirectX::SimpleMath::Matrix&        mat)
{
    float cosY = cosf(euler.y);     // Yaw
    float sinY = sinf(euler.y);

    float cosP = cosf(euler.x);     // Pitch
    float sinP = sinf(euler.x);

    float cosR = cosf(euler.z);     // Roll
    float sinR = sinf(euler.z);

    mat = DirectX::SimpleMath::Matrix::Identity;
    mat._11 = cosY * cosR + sinY * sinP * sinR;
    mat._21 = cosR * sinY * sinP - sinR * cosY;
    mat._31 = cosP * sinY;

    mat._12 = cosP * sinR;
    mat._22 = cosR * cosP;
    mat._32 = -sinP;

    mat._13 = sinR * cosY * sinP - sinY * cosR;
    mat._23 = sinY * sinR + cosR * cosY * sinP;
    mat._33 = cosP * cosY;
}

然后编写代码以从矩阵中取回欧拉角：

//====================================================================================================
// MatrixDecomposeYawPitchRoll
//
// Extract the rotation contained in the provided matrix as yaw (heading), pitch and roll (bank) in
// radiuans.
//
// Assumptions:
//  Euler:   X = Pitch, Y = Yaw, Z = Roll
//  Applied: Yaw then pitch then roll
//  Axes:    X = Right, Y = Up, Z = Forward
//  DirectX: Matrices are row major (http://www.mindcontrol.org/~hplus/graphics/matrix-layout.html)
//
// Code is based on Mike Tunnicliffe's answer to this question:
//   /sf/ask/139787021/
inline void MatrixDecomposeYawPitchRoll(
    const DirectX::SimpleMath::Matrix&  mat,
    DirectX::SimpleMath::Vector3&       euler)
{
    euler.x = asinf(-mat._32);                  // Pitch
    if (cosf(euler.x) > 0.0001)                 // Not at poles
    {
        euler.y = atan2f(mat._31, mat._33);     // Yaw
        euler.z = atan2f(mat._12, mat._22);     // Roll
    }
    else
    {
        euler.y = 0.0f;                         // Yaw
        euler.z = atan2f(-mat._21, mat._11);    // Roll
    }
}