这些天我花了一些时间解决一个问题。我有一组数据：
y = f(t)，其中 y 是非常小的浓度 (10^-7)，t 是秒。t 从 0 到 12000 左右不等。
测量遵循既定模型：
y = Vs * t - ((Vs - Vi) * (1 - np.exp(-k * t)) / k)
我需要找到 Vs、Vi 和 k。所以我使用了curve_fit，它返回了最佳拟合参数，并绘制了曲线。
然后我使用了一个类似的模型：
y = (Vs * t/3600 - ((Vs - Vi) * (1 - np.exp(-k * t/3600)) / k)) * 10**7
通过这样做，t 是一个小时数，而 y 是一个介于 0 和大约 10 之间的数字。返回的参数当然是不同的。但是当我绘制每条曲线时，我得到的是：
http://i.imgur.com/XLa4LtL.png
绿色拟合是第一个模型，蓝色拟合是“标准化”模型。红点是实验值。
拟合曲线不同。我认为这不是预期的，我不明白为什么。如果数字“合理”，计算是否更准确？
p0 : None, scalar, or M-length sequence
Initial guess for the parameters. If None, then the initial
values will all be 1 (if the number of parameters for the function
can be determined using introspection, otherwise a ValueError
is raised).
因此，首先，参数的初始猜测默认为 1。
此外，曲线拟合算法必须针对不同的参数值对函数进行采样。最初选择“各种值”时，初始步长为 1。如果您的数据随着参数值的变化而变化为 1 的数量级，则该算法会更好地工作。
如果函数随着参数变化的数量级为 1 变化很大，那么算法可能会错过最佳参数值。
请注意，即使该算法在调整参数值时使用了自适应步长，如果初始调整离目标太远以至于产生很大的残差，并且如果在其他方向上的调整碰巧产生了较小的残差，那么该算法可能会在错误的方向上徘徊并错过局部最小值。它可能会发现其他一些（不需要的）局部最小值，或者只是无法收敛。因此，使用具有自适应步长的算法不一定能救你。
这个故事的寓意是缩放数据可以提高算法找到所需最小值的机会。
当应用于数量级为 1 的数据时，数值算法通常都倾向于更好地工作。这种偏差以多种方式进入算法。例如，optimize.curve_fit依赖于optimize.leastsq，其调用签名为optimize.leastsq：
def leastsq(func, x0, args=(), Dfun=None, full_output=0,
col_deriv=0, ftol=1.49012e-8, xtol=1.49012e-8,
gtol=0.0, maxfev=0, epsfcn=None, factor=100, diag=None):
因此，默认情况下，容差ftol和xtol的数量级为 1e-8。如果找到最佳参数值需要更小的容差，那么这些硬编码的默认数字将导致optimize.curve_fit错过优化参数值。
为了使这更具体，假设您试图最小化f(x) = 1e-100*x**2. 1e-100 的因数y极大地压缩了 - 值，以至于广泛x的 - 值（上面提到的参数值）将适合 1e-8 的容差。因此，使用不理想的缩放，leastsq将无法很好地找到最小值。
在 1 的顺序上使用浮点数的另一个原因是因为间隔中的 (IEEE754) 浮点数[-1,1]比远离 1 的浮点数多得多。例如，
import struct
def floats_between(x, y):
"""
http://stackoverflow.com/a/3587987/190597 (jsbueno)
"""
a = struct.pack("<dd", x, y)
b = struct.unpack("<qq", a)
return b[1] - b[0]
In [26]: floats_between(0,1) / float(floats_between(1e6,1e7))
Out[26]: 311.4397707054894
这表明表示 0 到 1 之间数字的浮点数是区间 [1e6, 1e7] 中的 300 多倍。因此，在所有其他条件相同的情况下，如果使用小数字而不是非常大的数字，您通常会得到更准确的答案。