平方差的数值精度

Question

在我的代码中,我经常计算类似下面的内容(这里为简单的C代码):

float cos_theta = /* some simple operations; no cosf call! */;
float sin_theta = sqrtf(1.0f - cos_theta * cos_theta); // Option 1

对于此示例,请忽略由于不精确而导致平方根的参数可能为负.我通过额外的fdimf电话修好了.但是,我想知道以下是否更精确:

float sin_theta = sqrtf((1.0f + cos_theta) * (1.0f - cos_theta)); // Option 2

cos_theta介于两者之间-1,+1因此对于每种选择都会有一些情况,我会减去相似的数字,因此会失去精度,对吧？什么是最精确的,为什么？

Answer 1

使用浮点数的最精确方法可能是使用单个 x87 指令fsincos来计算 sin 和 cos 。

但是，如果您需要手动进行计算，最好将具有相似大小的参数分组。这意味着第二个选项更精确，尤其cos_theta是当 接近 0 时，此时精度最重要。

正如《每个计算机科学家应该了解浮点算术》一文 所述：

表达式 x ² - y ²是另一个表现出灾难性抵消的公式。将其评估为 (x - y)(x + y)更为准确。

编辑：它比这更复杂。虽然上述内容通常是正确的，但当 x 和 y 的大小相差很大时， (x - y)(x + y) 的准确度稍差，如该声明的脚注所解释的那样：

在这种情况下，(x - y)(x + y) 有三个舍入误差，但 x ² - y ^{2只有两个舍入误差，因为计算 x 2}和 y ²中较小者时产生的舍入误差不会影响最终的减法。

换句话说，取 x - y、x + y 以及乘积 (x - y)(x + y) 都会引入舍入误差（舍入误差的 3 步）。x ²、 y ²和减法 x ² - y ²也各自引入舍入误差，但是通过对相对较小的数（x 和 y 中较小的一个）进行平方获得的舍入误差可以忽略不计，因此实际上只有两个步骤舍入误差，使平方差更加精确。

所以选项 1 实际上会更精确。dev.brutus 的 Java 测试证实了这一点。