给定距离矩阵和一组点,你如何计算出这些点的坐标？
编辑:这是在飞机上.
这个问题在这里得到了解答,但在尝试不同的距离矩阵时,我真的无法使用这个答案,因为M矩阵具有负值,我的特征向量也是如此.因此,当你取平方根时,程序(在R中)为那些相关的条目输出"NaN".我猜这将在每次D(i,j)^ 2大于D(1,j)^ 2 + D(i,1)^ 2时发生.
例如,假设我有一个距离矩阵:
0 73 102 496 432 184
73 0 303 392 436 233
102 303 0 366 207 353
496 392 366 0 172 103
432 436 207 172 0 352
184 233 353 103 352 0
使用等式M(i,j)=(0.5)(D(1,j)^ 2 + D(i,1)^ 2-D(i,j)^ 2),得到(已经有负数条目) ):
0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0
0 5329.0 -38038.0 48840.5 928.5 -7552.0
0 -38038.0 10404.0 61232.0 77089.5 -40174.5
0 48840.5 61232.0 246016.0 201528.0 134631.5
0 928.5 77089.5 201528.0 186624.0 48288.0
0 -7552.0 -40174.5 134631.5 48288.0 33856.0
然后我得到非零特征值和特征向量:
477718.27 101845.63 16474.30 -13116.72 -100692.49
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
0.00000000 0.0000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000
-0.05928626 0.3205747 0.84148945 0.04869546 -0.42806691
-0.16650486 -0.5670946 -0.04507520 -0.58222690 -0.55647098
-0.73371713 0.2827320 0.07386302 -0.45957443 0.40627254
-0.59727407 -0.4623603 0.07806418 0.64968004 -0.03617241
-0.27144823 0.5309625 -0.52755471 0.15920983 -0.58372335
由于存在负特征值和特征向量,当我们计算sqrt(特征向量(i)*特征值(i))时,我们将具有负值.这是我的最终输出:
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
0 0.0000 0.00000 0.00000 0.00000
NaN 180.6907 117.74103 NaN 207.61291
NaN NaN NaN 87.38939 236.71174
NaN 169.6910 34.88326 77.64089 NaN
NaN NaN 35.86158 NaN 60.35139
NaN 232.5429 NaN NaN 242.43877
这是不使用角度计算坐标点的唯一明确方法吗？如果是,我们是否必须固定距离矩阵,因此D(i,j)^ 2不大于D(1,j)^ 2 + D(i,1)^ 2.
谢谢.
你的坐标与ℝ⁴中的点位置不一致,更不用说低维空间了.您可以通过计算平方距离矩阵的Menger行列式来说明这一事实:
D <- as.matrix(read.table(textConnection("\
0 73 102 496 432 184
73 0 303 392 436 233
102 303 0 366 207 353
496 392 366 0 172 103
432 436 207 172 0 352
184 233 353 103 352 0")))
n <- nrow(D)
det(rbind(cbind(D^2, 1), c(rep(1, n), 0)))
# Result: 3.38761e+25
如果您的坐标确实来自维度小于5的空间中的点,则此行列式必须为零.事实并非如此,您的距离不一致,或者这些点在足够高的空间中形成单形.
但无论维度如何,您的数据仍然不一致,因为在某些情况下它违反了三角形不等式:
a b c ac abc ab bc
1 2 4: 496 > 465 = 73 + 392
1 3 4: 496 > 468 = 102 + 366
1 3 5: 432 > 309 = 102 + 207
1 6 4: 496 > 287 = 184 + 103
2 1 3: 303 > 175 = 73 + 102
2 6 4: 392 > 336 = 233 + 103
3 1 6: 353 > 286 = 102 + 184
5 4 6: 352 > 275 = 172 + 103
直接从a到c从不会比通过b更长的时间,但根据你的数据它.
如果您的数据与平面中的点一致(即,对于四个点的组合的所有Menger行列式计算为零),您可以使用以下方法获取坐标:
distance2coordinates <- function(D) {
n <- nrow(D)
maxDist <- which.max(D)
p1 <- ((maxDist - 1) %% n) + 1
p2 <- ((maxDist - 1) %/% n) + 1
x2 <- D[p1, p2]
r1sq <- D[p1,]^2
r2sq <- D[p2,]^2
x <- (r1sq - r2sq + x2^2)/(2*x2)
y <- sqrt(r1sq - x^2)
p3 <- which.max(y)
x3 <- x[p3]
y3 <- y[p3]
plus <- abs(D[p3,]^2 - (x3 - x)^2 - (y3 - y)^2)
minus <- abs(D[p3,]^2 - (x3 - x)^2 - (y3 + y)^2)
y[minus < plus] <- -y[minus < plus]
coords <- data.frame(x = x, y = y)
return(coords)
}
这个想法是你选择两个以最大距离为起点的点.放置在原点上,另一个放在正x轴上.然后,您可以根据公式计算此处的所有其他x坐标,作为两个圆的交点
I: x² + y² = r?²
II: (x - x?)² + y² = r?²
I-II: 2*x*x? = r?² - r?² + x?²
给定这些x坐标,您也可以获得y坐标,直到符号.然后,您选择距离这两个起点中的任何一个都足够远的第三个点来决定标志.
这种方法根本不会尝试处理不精确的输入.它假定精确数据,并且仅使用距离矩阵的一部分来找到点.它不会找到与所有输入数据最匹配的点集.
在你的数据上,这将失败,因为平方根的一些参数将是负数.这意味着所涉及的两个圆圈根本不相交,因此违反了三角形不等式.
如果是,我们是否必须固定距离矩阵,因此D(i,j)^ 2不大于D(1,j)^ 2 + D(i,1)^ 2.
D(i,j)≤D(i,k)+ D(k,j)将有所帮助,即对于所有三元组和没有正方形.这将确保三角不平等在任何地方都存在.结果仍然不需要是平面的; 为此,你必须修复所有Menger决定因素.