通过重用基本Bézier曲线函数绘制Bézier曲线的一部分？

Question

假设我正在使用一些图形API,它允许我通过指定4个必要点来绘制贝塞尔曲线: 开始,结束,两个控制点.

我可以重复使用此功能来绘制"原始"曲线的x%(通过调整控制点和终点)吗？

还是不可能？

不必要的信息,如果有人关心:

• 我需要用整个东西来绘制
  具有不同颜色和/或线条样式的原始贝塞尔曲线的每一个n%

• 我正在使用Java的Path2D绘制贝塞尔曲线:

  Path2D p = new GeneralPath();
  p.moveTo(x1, y1);
  p.curveTo(bx1, by1, bx2, by2, x2, y2);
  g2.draw(p);
  

Answer 1

你需要的是De Casteljau算法.这样您就可以将曲线分割成您想要的任何片段.

但是,由于你只处理三次曲线,我想建议一个稍微容易使用的配方,它会给你一个段t0到t1哪里0 <= t0 <= t1 <= 1.这是一些伪代码:

u0 = 1.0 - t0
u1 = 1.0 - t1

qxa =  x1*u0*u0 + bx1*2*t0*u0 + bx2*t0*t0
qxb =  x1*u1*u1 + bx1*2*t1*u1 + bx2*t1*t1
qxc = bx1*u0*u0 + bx2*2*t0*u0 +  x2*t0*t0
qxd = bx1*u1*u1 + bx2*2*t1*u1 +  x2*t1*t1

qya =  y1*u0*u0 + by1*2*t0*u0 + by2*t0*t0
qyb =  y1*u1*u1 + by1*2*t1*u1 + by2*t1*t1
qyc = by1*u0*u0 + by2*2*t0*u0 +  y2*t0*t0
qyd = by1*u1*u1 + by2*2*t1*u1 +  y2*t1*t1

xa = qxa*u0 + qxc*t0
xb = qxa*u1 + qxc*t1
xc = qxb*u0 + qxd*t0
xd = qxb*u1 + qxd*t1

ya = qya*u0 + qyc*t0
yb = qya*u1 + qyc*t1
yc = qyb*u0 + qyd*t0
yd = qyb*u1 + qyd*t1

然后,只需画所形成的贝塞尔曲线(xa,ya),(xb,yb),(xc,yc)和(xd,yd).

请注意,t0并且t1不是曲线距离的精确百分比,而是曲线参数空间.如果你绝对必须有距离那么事情要困难得多.尝试一下,看看它是否符合你的需要.

编辑:值得注意的是,如果其中一个t0或者t1是0或1(即你只想从一侧修剪),这些方程式会简化很多.

而且,这种关系0 <= t0 <= t1 <= 1并不是一个严格的要求.例如t0 = 1和t1 = 0可向后用于"翻转"的曲线,或t0 = 0与t1 = 1.5可用于延长曲线超出原始端.但是,如果您尝试将曲线延伸超出[0,1]范围,则曲线可能与您预期的不同.

编辑2:在我的原始答案超过3年后,MvG在我的方程式中指出了一个错误.我忘记了最后一步(额外的线性插值来获得最终控制点).上面的等式已得到纠正.

Answer 2

在另一个问题的答案中,我只包括一些公式来计算三次曲线的一部分的控制点.当u = 1- t时,立方贝塞尔曲线被描述为

B(t)= u ³ P ₁ + 3 u ² t P ₂ + 3 ut ² P ₃ + t ³ P ₄

P ₁是曲线的起点,P _4是其终点.P ₂和P ₃是控制点.

给定两个参数t ₀和t ₁(并且u ₀ =(1- t ₀),u ₁ =(1- t ₁)),区间[ t ₀,t ₁ ] 中的曲线部分由下式描述:新的控制点

• Q ₁ = u ₀ u ₀ u ₀ P ₁ +(t ₀ u ₀ u ₀ + u ₀ t ₀ u ₀ + u ₀ u ₀ t ₀)P ₂ +(t ₀ t ₀ u ₀ + u ₀ t ₀ t ₀ + t ₀ u ₀ t ₀)P ₃ + t ₀ t ₀ t ₀ P ₄
• Q ₂ = u ₀ u ₀ u ₁ P ₁ +(t ₀ u ₀ u ₁ + u ₀ t ₀ u ₁ + u ₀ u ₀ t ₁)P ₂ +(t ₀ t ₀ u ₁ + u ₀ t ₀ t ₁ + t ₀ u ₀ t ₁)P ₃ + t ₀ t ₀ t ₁ P ₄
• Q ₃ = u ₀ u ₁ u ₁ P ₁ +(t ₀ u ₁ u ₁ + u ₀ t ₁ u ₁ + u ₀ u ₁ t ₁)P ₂ +(t ₀ t ₁ u ₁ + u ₀ t ₁ t ₁ + t ₀ u ₁ t ₁)P ₃ + t ₀ t ₁ t ₁ P ₄
• Q ₄ = u ₁ u ₁ u ₁ P ₁ +(t ₁ u ₁ u ₁ + u ₁ t ₁ u ₁ + u ₁ u ₁ t ₁)P ₂ +(t ₁ t ₁ u ₁ + u ₁ t ₁ t ₁ + t ₁ u ₁ t ₁)P ₃ + t ₁ t ₁ t ₁ P ₄

请注意,在带括号的表达式中,至少有一些术语是相同的并且可以组合.我没有这样做,因为这里所说的公式将使模式更清晰,我相信.您可以单独为x和y方向执行这些计算,以计算新的控制点.

注意,t的参数范围的给定百分比通常不对应于长度的相同百分比.因此,您很可能必须在曲线上进行积分,以将路径长度转换回参数.或者你使用一些近似值.