Zeckendorf和黄金比率基数显然密切相关,但从一个转换到另一个似乎仍然很棘手.我知道Frougny和Sakarovitch有关于此的工作,但我还没有完全理解这一点.一个问题是黄金比率基数表示在小数点附近相当对称,这表明这些表示可以是无上下文的.Sakarovitch和Frougny通过使用"折叠"黄金比率基数来处理这个问题.通过这种修改过的表示,他们可以假设使用有限状态传感器进行转换,但我没有意识到这应该如何工作.
至于黄金比率基础的部分对称性,这与成对的根有关(我对乔治·伯格曼(PC)的解释比较长).
关于这两种表示之间的关系我知道的一件事是,对于形式为d-1 ... d_i*d_j ... d_n的每个黄金比例基本表示(使用'*'作为小数点),有一个对应的涉及斐波纳契数的方程:
Example 4 = 101.01 <=> 4f_n = f_{n+2} + f_n + f_{n-2} (with f_0 = f_1 = 1
and f_n = f_{n-1} + f_{n-2})
For n=3, f_n=3: 12 = 10101
for n=4, f_n=5: 20 = 101010
for n=5 f_n=8: 32 = 1010100
(等等.有一系列数字都具有与4的黄金比率基数表示相同的Zeckendorf位模式).这肯定看起来应该有用,但是怎么样？
这种模式在D. Gerdemann,Zeckendorf家族身份的组合证明,Fibonacci Quarterly,2008/2009中进行了讨论.
顺便说一句:尽管在斐波那契季刊中有一篇论文,但我在这方面绝对是业余爱好者.我的知识存在很多差距,包括我所询问的差距.