我决定接下来解决Project Euler 问题233,但我遇到了一些重大问题!我做了一些分析并取得了一些相当不错的进展,但我现在已经陷入困境.这是我的工作:
引理1:由于圆圈经过4个角点,因此任何n都至少有4个解.但是对于圆周上的每个点,有7个其他点被发现有反射.因此总有8k + 4个格点.
引理2:圆具有半径(√2)n和中心(n/2,n/2),因此其方程为(xn/2)^ 2 +(yn/2)^ 2 = [n /√2] ^ 2.这减少到x ^ 2 + y ^ 2 = n(x + y).
引理3:如果写入x ^ 2 + y ^ 2 = n(x + y)的解(x,y,z),则另一个解是(kx,ky,kz).证明是:
(x+y)n = x^2+y^2
(kx)^2+(ky)^2 = (kx+ky)m
k(x^2+y^2) = (x+y)m
m = kn
这和我对这个思路的影响一样多 - 我看不到任何地方可以从那里去,但它包括在内,因为它可能很有用.
我的下一个想法是移动圆圈的中心.将有相同数量的解决方案在任何维度上移动整个整数.所以当n/2是整数时,所以n = 2k,x ^ 2 + y ^ 2 = 2*k ^ 2.并且事实证明,对于该等式,存在与等式x ^ 2 + y ^ 2 = k ^ 2一样多的解(参见Sloane A046109). …