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在给定一组值的情况下(x,f(x)),有没有办法找到最适合数据的给定度数的多项式？

我知道多项式插值,它用于找到n给定n+1数据点的度数多项式,但这里有大量的值,我们想找到一个低次多项式(找到最佳线性拟合,最佳二次,最佳立方等. ).它可能与最小二乘有关 ...

更一般地说,当我们有一个多变量函数时,我想知道答案 - (x,y,f(x,y))比如说 - 并且想要找到p(x,y)变量中给定度数的最佳多项式().(特别是多项式,而不是样条或傅里叶级数.)

理论和代码/库(最好是Python,但任何语言都可以)都会很有用.

我不确定 R 是否可以做到这一点（我认为它可以，但也许这只是因为我倾向于假设 R 可以做任何事情:-)）。我需要的是找到描述数据集的最佳拟合方程。

例如，如果您有以下几点：

df = data.frame(x = c(1, 5, 10, 25, 50, 100), y = c(100, 75, 50, 40, 30, 25))

如何得到最佳拟合方程？我知道你可以通过以下方式获得最佳拟合曲线：

plot(loess(df$y ~ df$x))

但据我了解，您无法提取方程，请参阅Loess Fit and Resulting Equation。

当我尝试自己构建它时（注意，我不是数学家，所以这可能不是理想的方法:-)），我最终得到如下结果：

y.predicted = 12.71 + ( 95 / (( (1 + df$x) ^ .5 ) / 1.3))

哪种似乎近似它 - 但我不禁认为可能存在更优雅的东西:-)

我有一种感觉，拟合线性或多项式模型也行不通，因为该公式似乎与这些模型通常使用的不同（即这个似乎需要除法、幂等）。例如，将多项式模型拟合到 R 中的数据中的方法给出了非常糟糕的近似值。

我记得很久以前就存在做这种事情的语言（Matlab 可能是其中之一？）。R 也可以这样做，还是我只是在错误的地方？

（背景信息：基本上，我们需要做的是找到一个方程，根据第一列中的数字确定第二列中的数字；但我们自己决定数字。我们知道我们希望曲线看起来如何喜欢，但如果我们得到更好的拟合，我们可以将这些数字调整为方程式。这是关于产品的定价（当前昂贵的定性数据分析软件的更便宜的替代品）；您购买的“项目积分”越多，就越便宜它应该成为。与其强迫人们购买给定的数量（即 5 或 10 或 25），不如有一个公式，以便人们可以准确地购买他们需要的东西 - 但这当然需要一个公式。我们有一个对于一些我们认为可以的价格的想法，但现在我们需要将其转化为一个方程式。

我正在尝试使用lm(poly)来获得某些点的多项式回归,但是对它返回的回归公式系数有一些疑问.

像这样的样本:

x=seq(1,100)
y=x^2+3*x+7
fit=lm(y~poly(x,2))

结果是:

lm(formula = y ~ poly(x, 2))

系数:

(Intercept)  poly(x, 2)1  poly(x, 2)2  
       3542        30021         7452  

为什么系数不是7,3,2？

非常感谢你!

我无法找到适合我数据的正确曲线.如果比我更了解情况的人有更好的拟合曲线的想法/解决方案,我将非常感激.

数据:目的是从y预测x

dat <- data.frame(x = c(15,25,50,100,150,200,300,400,500,700,850,1000,1500),
                  y = c(43,45.16,47.41,53.74,59.66,65.19,76.4,86.12,92.97,
                        103.15,106.34,108.21,113) ) 

这是我走了多远:

model <- nls(x ~ a * exp( (log(2) / b ) * y),
             data = dat, start = list(a = 1, b = 15 ), trace = T)

哪个不合适:

dat$pred <- predict(model, list(y = dat$y))
plot( dat$y, dat$x, type = 'o', lty = 2)
points( dat$y, dat$pred, type = 'o', col = 'red')

谢谢,F

我的模型是

lm(formula = medv ~ crim + indus + rm + dis + crim * indus)

我必须将rm*rm2 阶多项式项添加到上述模型中。我们如何在 R 中做到这一点？