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应用函子是众所周知的,并且在Haskellers中广受欢迎,因为它们能够在有效的环境中应用函数.

在类别理论术语中,可以证明以下方法Applicative:

pure :: a -> f a
(<*>) :: f (a -> b) -> f a -> f b

相当于有一个Functor f操作:

unit :: f ()
(**) :: (f a, f b) -> f (a,b)

这个想法是写pure你只是用给定的值替换()in unit,并写(<*>)你将函数和参数压缩到一个元组,然后在它上面映射一个合适的应用程序函数.

此外,这种对应关系变成了Applicative法律成左右自然monoidal十岁上下的法律unit和(**),所以实际上是一个适用函子也恰恰是一类理论家称之为一个宽松monoidal仿函数(松懈,因为(**)仅仅是一个自然的转变,而不是同构).

好的,很好,很棒.这是众所周知的.但是,这只是一个家庭不严monoidal函子-那些尊重的monoidal结构产品.松散的幺正算子涉及两种幺半群结构的选择,在源头和目的地:如果你把产品变成总和,你就会得到:

class PtS f where
  unit :: f Void
  (**) :: f a -> f b -> f (Either a b) …

我正在玩pure和liftA2(以及(<*>) = liftA2 id成为派生组合者)制定Applicative .

我可以想到一堆候选法则,但我不确定最小集合是什么.

1. f <$> pure x = pure (f x)
2. f <$> liftA2 g x y = liftA2 ((f .) . g) x y
3. liftA2 f (pure x) y = f x <$> y
4. liftA2 f x (pure y) = liftA2 (flip f) (pure y) x
5. liftA2 f (g <$> x) (h <$> y) = liftA2 (\x y -> f (g x) (h y)) x y
6. ...

如适用函数的黑客中提到的那样，它们是强大的松散单曲面函数。那么，为什么它们在Haskell中的定义却不这样显示：

class Functor f => MonoidalApplicative f where
  mult :: f a -> f b -> f (a,b)
  unit :: a -> f a 

  starAp :: f (a -> b) -> f a -> f b
  starAp h x = fmap (uncurry ($)) (mult h x)

<*>（starAp）可以很容易地按照乘法来重构，这个定义对我来说更简单。例如，这是Maybe实例：

instance MonoidalApplicative Maybe where
  mult (Just x) (Just y) = Just (x,y)
  mult _ _ = Nothing

  unit x = Just x