如何将多项式转换为另一个坐标系？

Question

使用各种矩阵数学,我已经求解了一个方程组,得到了度数'n'的多项式的系数

Ax^(n-1) + Bx^(n-2) + ... + Z

然后我在给定的x范围内调整多项式,基本上我正在渲染多项式曲线.现在这里抓住了.我已经在一个我们称之为"数据空间"的坐标系中完成了这项工作.现在我需要在另一个坐标空间中显示相同的曲线.很容易将输入/输出转换为坐标空间和从坐标空间转换输入/输出,但最终用户只对系数[A,B,....,Z]感兴趣,因为它们可以自己重建多项式.如何呈现第二组系数[A',B',......,Z'],它们代表不同坐标系中的相同形状曲线.

如果它有帮助,我在2D空间工作.简单的旧x和y.我也觉得这可能涉及将系数乘以变换矩阵？它是否会包含坐标系之间的比例/平移因子？它会与此矩阵相反吗？我觉得我朝着正确的方向前进......

更新:坐标系与线性相关.本来有用的信息呃？

Answer 1

问题表述有点不清楚，所以先澄清一下我自己的理解：

你有一个多项式函数

f(x) = C _n x ⁿ + C _n-1 x ^n-1 + ... + C ₀

[我将 A, B, ... Z 改为 C _n , C _n-1 , ..., C ₀以便更轻松地使用下面的线性代数。]

然后，您还有一个变换，例如：   z = ax + b   您想用它来查找相同多项式的系数，但就z 而言：

f(z) = D _n z ⁿ + D _n-1 z ^n-1 + ... + D ₀

这可以通过一些线性代数轻松完成。特别是，您可以定义一个 (n+1)×(n+1) 矩阵T，它允许我们进行矩阵乘法

  d = T * c ,

其中d是具有顶部条目D ₀的列向量，到最后一个条目D _n，列向量c对于C _i系数是相似的，并且矩阵T具有 (i,j)-th [i ^th row, j ^th column] 条目t _ij由

  t _ij = ( j选择i ) a ⁱ b ^j-i。

其中 ( j选择i ) 是二项式系数，当i > j时 = 0 。此外，与标准矩阵不同，我认为 i,j 的范围从 0 到 n（通常从 1 开始）。

当您手动插入 z=ax+b 并使用二项式定理时，这基本上是写出多项式的扩展和重新压缩的好方法。