SICP 2.16区间算术(方案)

Question

这不是一个功课问题,我只是对我对间隔算术的理解以及练习2.16的含义不满意.

由2.14节定义的区间算术不具有正常算术的属性.两个应该是等效的操作,(r1*r2)/(r1 + r2)和1 /(1/r1 + 1/r2),给出不同的结果.练习询问为什么会出现这种情况,并且如果有可能构造一个间隔算术系统,而不是这种情况.

本节讨论计算电气元件电阻的误差范围.我不确定我理解用这些术语来表示乘法和除法间隔是什么意思.将两个区间相乘的应用是什么？

在这个例子中是否可以构造一个没有问题的区间运算系统？

http://mitpress.mit.edu/sicp/full-text/book/book-ZH-14.html#%_sec_2.1.4

(define (make-interval a b)
  (cons a b))

(define (make-center-width c w)
  (make-interval (- c w) (+ c w)))

(define (make-center-percent c p)
  (make-center-width c (* c (/ p 100.0))))

(define (lower-bound i)
  (car i))

(define (upper-bound i)
  (cdr i))

(define (center i)
  (/ (+ (upper-bound i) (lower-bound i)) 2))

(define (width i)
  (/ (- (upper-bound i) (lower-bound i)) 2))

(define (percent i)
  (* 100.0 (/ (width i) (center i))))

(define (add-interval x y)
  (make-interval (+ (lower-bound x) (lower-bound y))
                 (+ (upper-bound x) (upper-bound y))))

(define (sub-interval x y)
  (make-interval (- (lower-bound x) (lower-bound y))
                 (- (upper-bound x) (upper-bound y))))

(define (mul-interval x y)
  (let ((p1 (* (lower-bound x) (lower-bound y)))
        (p2 (* (lower-bound x) (lower-bound y)))
        (p3 (* (lower-bound x) (lower-bound y)))
        (p4 (* (lower-bound x) (lower-bound y))))
    (make-interval (min p1 p2 p3 p4)
                   (max p1 p2 p3 p4))))

(define (div-interval x y)
  (if (= (width y ) 0) 
      (error "division by interval with width 0")
      (mul-interval x
                    (make-interval (/ 1.0 (upper-bound y))
                                   (/ 1.0 (lower-bound y))))))

(define (parl1 r1 r2)
  (div-interval (mul-interval r1 r2)
                (add-interval r1 r2)))

(define (parl2 r1 r2)
  (let ((one (make-interval 1 1)))
              (div-interval one
                           (add-interval (div-interval one r1)
                                         (div-interval one r2))))

(define (r1 (make-interval 4.0 3.2)))
(define (r2 (make-interval 3.0 7.2)))

(center (parl1 r1 r2))
(width (parl1 r1 r2))
(newline)
(center (parl2 r1 r2))
(width (parl2 r1 r2))

Answer 1

发生这种情况是因为区间运算中的运算不具有字段的算术结构.

正如Sussman所说,练习很难 - 你需要检查场结构的每个操作,看看哪个不满意.

练习要求我们证明区间运算不是函数范围的算术.

在域[-1,1]上定义的函数如f(x)= x ^ 2的范围为[0,1],它包含在[-1,1]*[-1,1] = [ - 1,1],通过用符号x的域替换符号而获得的x.

如果我们定义一个类似的函数,对每个维使用一个不同的变量,比如在f(x,y)= x*y中,那么这个函数的范围,当在域[-1,1]*[-1上定义时,1],与区间[-1,1]*[-1,1] = [-1,1]相同,因为x使用一次,因此使用y.

当函数f(..,x,..)在每个变量中连续时,x如果每个符号在f的定义中仅使用一次,则我们将范围算术与区间算法相同.

在Alice的第一个公式中,并行电阻计算重复变量R1的2倍,变量R2的2倍,并使用相同的参数,该函数的范围包含在从公式得到的相应区间的乘积中.函数,通过用相应的域间隔替换每个名称,但它并不完全相同.

我们被要求重写任何函数,使得重写函数的范围与通过应用重写函数的公式获得的间隔相同,其名称替换为等于来自重写函数的相应名称的域的间隔,或者表明这对每个可能的功能都是不可能的.

这个问题被称为"依赖问题",这是一个很大的问题,其理解超出了SICP的目的,并且需要多个变量中的微分方程来解决它.

正如Sussman自己所说,这个练习的目的只是为了表明数据可以用多种方式编码.重点不是数学,而是数据抽象.