验证卷积定理

Question

我的主要目标是证明卷积定理有效(只是提醒一下:卷积定理意味着idft(dft(im) .* dft(mask)) = conv(im, mask)).我正在尝试编程.

这是我的代码:

function displayTransform( im )
% This routine displays the Fourier spectrum of an image.
% 
% Input:      im - a grayscale image (values in [0,255]) 
% 
% Method:  Computes the Fourier transform of im and displays its spectrum,
%                    (if F(u,v) = a+ib, displays sqrt(a^2+b^2)).
%                    Uses display techniques for visualization: log, and stretch values to full range,
%                    cyclic shift DC to center (use fftshift).
%                    Use showImage to display and fft2 to apply transform.  

%displays the image in grayscale in the Frequency domain
imfft = fft2(im);
imagesc(log(abs(fftshift(imfft))+1)), colormap(gray);

% building mask and padding it with Zeros in order to create same size mask
b = 1/16*[1 1 1 1;1 1 1 1; 1 1 1 1; 1 1 1 1];
paddedB = padarray(b, [floor(size(im,1)/2)-2 floor(size(im,2)/2)-2]);
paddedB = fft2(paddedB);
C = imfft.*paddedB;
resIFFT = ifft2(C);

%reguler convolution
resConv = conv2(im,b);
showImage(resConv);

end

我想比较resIFFT和resConv.我想我错过了一些演员,因为如果我使用演员加倍,我会在矩阵中得到更接近的数字.也许我在铸造或填充的地方有一些错误？

Answer 1

1. 为了使用DFT计算线性卷积,您需要用零填充两个信号,否则结果将是循环卷积.您不必手动填充信号,fft2如果您向函数调用添加其他参数,可以为您执行此操作,如下所示:

   fft2(X, M, N)
   

   X在进行变换之前,这个焊盘(或截断)信号产生M-by-N信号.
   将每个维度中的每个信号填充到等于两个信号长度之和的长度,即:

   M = size(im, 1) + size(mask, 1);
   N = size(im, 2) + size(mask, 2);
   

2. 只是为了良好的实践,而不是:

   b = 1 / 16 * [1 1 1 1; 1 1 1 1; 1 1 1 1; 1 1 1 1];
   

   你可以写:

   b = ones(4) / 16;
   

无论如何,这是固定代码(我为了示例而生成了一个随机图像):

im = fix(255 * rand(500));            % # Generate a random image
mask = ones(4) / 16;                  % # Mask

% # Circular convolution
resConv = conv2(im, mask);

% # Discrete Fourier transform
M = size(im, 1) + size(mask, 1);
N = size(im, 2) + size(mask, 2);
resIFFT = ifft2(fft2(im, M, N) .* fft2(mask, M, N));
resIFFT = resIFFT(1:end-1, 1:end-1);  % # Adjust dimensions

% # Check the difference
max(abs(resConv(:) - resIFFT(:)))

你应该得到的结果应该是零:

ans =

    8.5265e-014

足够近.