从双精度参数开始的80位扩展精度计算的属性

Question

以下是插值函数的两种实现.争论u1始终在0.和之间1..

#include <stdio.h>

double interpol_64(double u1, double u2, double u3)
{ 
  return u2 * (1.0 - u1) + u1 * u3;  
}

double interpol_80(double u1, double u2, double u3)
{ 
  return u2 * (1.0 - (long double)u1) + u1 * (long double)u3;  
}

int main()
{
  double y64,y80,u1,u2,u3;
  u1 = 0.025;
  u2 = 0.195;
  u3 = 0.195;
  y64 = interpol_64(u1, u2, u3);
  y80 = interpol_80(u1, u2, u3);
  printf("u2: %a\ny64:%a\ny80:%a\n", u2, y64, y80);
}

在具有80位long doubles 的严格IEEE 754平台上,所有计算interpol_64()都是根据IEEE 754双精度和interpol_80()80位扩展精度完成的.程序打印:

u2: 0x1.8f5c28f5c28f6p-3
y64:0x1.8f5c28f5c28f5p-3
y80:0x1.8f5c28f5c28f6p-3

我感兴趣的财产"由该函数返回的结果总是在中间u2和u3".此属性为false interpol_64(),如main()上面的值所示.

该物业是否有机会成为真实的interpol_80()？如果不是,反例是什么？如果我们知道它们u2 != u3或它们之间的距离最小,这会有帮助吗？是否有一种方法来确定中间计算的有效位宽度,在该计算中,属性将保证为真？

编辑:在我尝试的所有随机值上,当内部计算以扩展精度完成时,属性保持不变.如果interpol_80()接受了long double参数,那么构建一个反例也相对容易,但这里的问题是关于一个带double参数的函数.这使得构建反例(如果有的话)变得更加困难.

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注意:生成x87指令的编译器可能会为interpol_64()和生成相同的代码interpol_80(),但这与我的问题相关.

Answer 1

是的，interpol_80() 是安全的，我们来演示一下。

问题表明输入是 64 位浮点数

rnd64(ui) = ui

结果是准确的（假设*和+是数学运算）

r = u2*(1-u1)+(u1*u3)

舍入为 64 位浮点数的最佳返回值是

r64 = rnd64(r)

因为我们有这些属性

u2 <= r <= u3

可以保证

rnd64(u2) <= rnd64(r) <= rnd64(u3)
u2 <= r64 <= u3

转换为 80 位 u1、u2、u3 也是准确的。

rnd80(ui)=ui

现在，我们假设0 <= u2 <= u3，那么执行不精确的浮点运算最多会导致 4 个舍入错误：

rf = rnd(rnd(u2*rnd(1-u1)) + rnd(u1*u3))

假设四舍五入到最接近的偶数，则该值最多与精确值相差 2 ULP。如果使用 64 位浮点数或 80 位浮点数进行舍入：

r - 2 ulp64(r) <= rf64 <= r + 2 ulp64(r)
r - 2 ulp80(r) <= rf80 <= r + 2 ulp80(r)

rf64可能会偏离 2 ulp，所以 interpol-64() 是不安全的，但是呢rnd64( rf80 )？
我们可以说：

rnd64(r - 2 ulp80(r)) <= rnd64(rf80) <= rnd64(r + 2 ulp80(r))

自0 <= u2 <= u3那以后

ulp80(u2) <= ulp80(r) <= ulp80(r3)
rnd64(u2 - 2 ulp80(u2)) <= rnd64(r - 2 ulp80(r)) <= rnd64(rf80)
rnd64(u3 + 2 ulp80(u3)) >= rnd64(r + 2 ulp80(r)) >= rnd64(rf80)

(u2-ulp64(u2)/2 , u2+ulp64(u2)/2)幸运的是，就像我们得到的范围内的每个数字一样

rnd64(u2 - 2 ulp80(u2)) = u2
rnd64(u3 + 2 ulp80(u3)) = u3

自从ulp80(x)=ulp62(x)/2^(64-53)

这样我们就得到了证明

u2 <= rnd64(rf80) <= u3

对于 u2 <= u3 <= 0，我们可以轻松应用相同的证明。

最后要研究的情况是 u2 <= 0 <= u3。如果我们减去 2 个大值，则结果最多可达 ulp(big)/2，而不是 ulp(big-big)/2...
因此，我们所做的断言不再成立：

r - 2 ulp64(r) <= rf64 <= r + 2 ulp64(r)

幸运的是，u2 <= u2*(1-u1) <= 0 <= u1*u3 <= u3这在四舍五入后被保留

u2 <= rnd(u2*rnd(1-u1)) <= 0 <= rnd(u1*u3) <= u3

因此，由于添加的数量具有相反的符号：

u2 <= rnd(u2*rnd(1-u1)) + rnd(u1*u3) <= u3

四舍五入后也是如此，所以我们可以再次保证

u2 <= rnd64( rf80 ) <= u3

量子电动力学

为了完整起见，我们应该关心非正规输入（逐渐下溢），但我希望你不会对压力测试那么恶毒。我不会展示那些会发生什么......

编辑：

这是后续断言，因为以下断言有点近似，并在 0 <= u2 <= u3 时生成一些注释

r - 2 ulp80(r) <= rf80 <= r + 2 ulp80(r)

我们可以写出以下不等式：

rnd(1-u1) <= 1
rnd(1-u1) <= 1-u1+ulp(1)/4
u2*rnd(1-u1) <= u2 <= r
u2*rnd(1-u1) <= u2*(1-u1)+u2*ulp(1)/4
u2*ulp(1) < 2*ulp(u2) <= 2*ulp(r)
u2*rnd(1-u1) < u2*(1-u1)+ulp(r)/2

对于下一个舍入操作，我们使用

ulp(u2*rnd(1-u1)) <= ulp(r)
rnd(u2*rnd(1-u1)) < u2*(1-u1)+ulp(r)/2 + ulp(u2*rnd(1-u1))/2
rnd(u2*rnd(1-u1)) < u2*(1-u1)+ulp(r)/2 + ulp(r)/2
rnd(u2*rnd(1-u1)) < u2*(1-u1)+ulp(r)

对于总和的第二部分，我们有：

u1*u3 <= r
rnd(u1*u3) <= u1*u3 + ulp(u1*u3)/2
rnd(u1*u3) <= u1*u3 + ulp(r)/2

rnd(u2*rnd(1-u1))+rnd(u1*u3) < u2*(1-u1)+u1*u3 + 3*ulp(r)/2
rnd(rnd(u2*rnd(1-u1))+rnd(u1*u3)) < r + 3*ulp(r)/2 + ulp(r+3*ulp(r)/2)/2
ulp(r+3*ulp(r)/2) <= 2*ulp(r)
rnd(rnd(u2*rnd(1-u1))+rnd(u1*u3)) < r + 5*ulp(r)/2

我没有证明最初的说法，但还没有那么远......