使用epsilon将double比较为零

Question

今天,我正在查看一些C++代码(由其他人编写)并找到了这一部分:

double someValue = ...
if (someValue <  std::numeric_limits<double>::epsilon() && 
    someValue > -std::numeric_limits<double>::epsilon()) {
  someValue = 0.0;
}

我试图弄清楚这是否有意义.

文档epsilon()说:

该函数返回1和大于1的最小值之间的差值,可以表示[乘双].

这是否也适用于0,即epsilon()最大值是否大于0？或者有没有之间的数字0,并0 + epsilon可以由代表double？

如果没有,那么比较不等于someValue == 0.0？

Answer 1

假设64位IEEE双,则有52位尾数和11位指数.看看下面的数字:

1.0000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 × 2^0 = 1

可表示的最小数字大于1:

1.0000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000001 × 2^0 = 1 + 2^-52

因此:

epsilon = (1 + 2^-52) - 1 = 2^-52

0和epsilon之间有数字吗？很多......例如,最小正可表示(正常)数字是:

1.0000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 × 2^-1022 = 2^-1022

实际上有大约(1022 - 52 + 1)×2^52 = 43729952381767516160到epsilon之间的数字,大约是所有可表示数字的47%......

Answer 2

测试当然不一样someValue == 0.浮点数的整个概念是它们存储指数和有效数.因此,它们表示具有一定数量的二进制有效精度数值的值(在IEEE双精度的情况下为53).可表示的值在0附近比在1附近密集得多.

要使用更熟悉的十进制系统,假设您使用指数存储"4个有效数字"的十进制值.那么接下来的表示值大于1是1.001 * 10^0,和epsilon是1.000 * 10^-3.但1.000 * 10^-4也可以表示,假设指数可以存储-4.您可以接受我的说法,IEEE双倍可以存储小于指数的指数epsilon.

你无法单独从这段代码中看出是否有意义地使用它epsilon作为界限,你需要查看上下文.这可能是对epsilon所产生的计算中的误差的合理估计someValue,并且可能不是.

Answer 3

在0和epsilon之间存在数字,因为epsilon是1和可以在1之上表示的下一个最高数字之间的差异,而不是0和可以在0之上表示的下一个最高数字之间的差异(如果是,那个代码会做的很少): -

#include <limits>

int main ()
{
  struct Doubles
  {
      double one;
      double epsilon;
      double half_epsilon;
  } values;

  values.one = 1.0;
  values.epsilon = std::numeric_limits<double>::epsilon();
  values.half_epsilon = values.epsilon / 2.0;
}

使用调试器,在main结束时停止程序并查看结果,您将看到epsilon/2与epsilon,0和1不同.

因此,此函数采用+/- epsilon之间的值并使它们为零.

Answer 4

可以使用以下程序打印数字(1.0,0.0,...)附近的epsilon(最小可能差异)的近似值.它打印出以下输出:
epsilon for 0.0 is 4.940656e-324
epsilon for 1.0 is 2.220446e-16
一点思考清楚地表明,epsilon越小,我们用来查看其epsilon值的数字越小,因为指数可以调整到该数字的大小.

#include <stdio.h>
#include <assert.h>
double getEps (double m) {
  double approx=1.0;
  double lastApprox=0.0;
  while (m+approx!=m) {
    lastApprox=approx;
    approx/=2.0;
  }
  assert (lastApprox!=0);
  return lastApprox;
}
int main () {
  printf ("epsilon for 0.0 is %e\n", getEps (0.0));
  printf ("epsilon for 1.0 is %e\n", getEps (1.0));
  return 0;
}