具有单位向量约束的非线性优化

Question

我有一个 3x3 矩阵 E，我正在尝试解决这个优化问题：

|| E * t || = minimum

其中 t 是我正在寻找的解决方案，它必须是单位向量（表示为 3x1 矩阵）。|| ×|| 表示 x 的欧几里德距离。

有没有可以帮助我解决这个问题的库？我在各种库中找到了几个求解函数，但我似乎找不到一个可以让我施加附加约束，即 t 必须是单位向量。那么我可以在没有库的情况下以编程方式解决这个问题吗？

Answer 1

对我来说看起来像是一个特征向量类型的问题——你minimum应该是 的特征值中最小的绝对值E。

对矩阵 E进行奇异值分解(SVD)（此操作应作为任何优秀线性代数库的一部分提供）。这将为您提供 E 的因式分解：

E =  U diag V*

其中diag是具有非负对角线值的对角矩阵，并且U和V是正交的。

找出 的最小对角元素diag；的对应行V*（或列V）是您的解决方案t。

这个值t将是一个单位向量，因为它V是正交的，结果向量E t将是最小的，因为U并V保持向量长度。