连续坐标旋转中的浮点误差

Question

我有代码（Python），必须对曲线的反射段之间的距离执行一些操作。

为了让思路和代码更清晰，我在执行实际计算之前应用了两次旋转（使用矩阵乘法）。我想可以在没有任何旋转的情况下执行计算，但是代码和思维会更加尴尬。

我要问的是：由于四舍五入的浮点误差，这三个旋转是否对精度损失造成了太大的损失？有没有办法估计这个误差的大小？

谢谢阅读

Answer 1

作为数值计算的经验法则——只认真对待前 12 位数字:)

现在，假设 3D 旋转，并且三角函数的结果无限精确，矩阵乘法将涉及旋转向量中每个元素的 3 次乘法和 2 次加法。由于您进行了两次旋转，因此每个元素相当于 6 次乘法和 4 次加法。

如果您阅读本文（您应该在一天内从头到尾阅读），或this或this，您会发现 IEEE 754 的各个算术运算保证精确到 ULP 的一半以内（=最后一位小数位）。

应用于您的问题，这意味着结果向量中每个元素的 10 次操作将精确到 5 个 ULP 以内。

换句话说——假设你正在旋转一个单位向量。旋转向量的元素将精确到 0.000000000000005——我想说这没什么好担心的。

包括触发函数中的错误，嗯，这有点复杂……这实际上取决于您的编程语言和/或编译器的版本等。但我保证它可以与 5 个 ULP 相媲美。

如果您确实认为这种精度不够，那么我建议您一次执行两次旋转。解析计算矩阵乘法，并将旋转实现为单个矩阵乘法。或者：看看四元数（虽然我怀疑这对你的情况来说有点矫枉过正）。