一阶 RC 滤波器的时间离散实现

Question

我试图通过实现一阶 RC 滤波器的时间离散版本来确保我了解我的（数字）信号处理知识。（背景是我正在尝试在软件中实现 PLL 以用于 SDR 目的，但这是一个不同的故事......）

我的问题是我认为我理解如何为这样的滤波器创建差分方程，从而推导出它的系数。但是，当我使用 freqz 函数在 MATLAB 中绘制响应时 - 使用计算a和b系数 - 我没有得到看起来像 RC 滤波器响应的内容。

我引用了关于这个主题的维基百科页面（在http://en.wikipedia.org/wiki/Low-pass_filter#Discrete-time_realization），只是为了确保我没有完全陷入困境，但它仍然没有帮助。这将差分方程详细描述为：

yi = alpha * xi + ( 1 - alpha ) * yi-1
where: alpha = sample period / ( RC + sample period )

一个例子：

fs = 96000.0;                         % Sample rate.
delta_t = 1.0 / fs;                   % Sample period.
fc = 5000.0;                          % Filter cut off frequency.
tau = 1 / ( 2 * pi * fc );            % Time constant of filter.
alpha = delta_t / ( tau + delta_t );  % Smoothing factor per Wikipedia page.
b = [ alpha ];                        % 'b' coefficients
a = [ 1.0, ( 1 - alpha ) ];           % 'a' coefficents
freqz( b, a, 1024, fs );              % 1024 point FFT used.

结果：

关于我哪里出错的任何想法？我完全误解了什么吗？

提前致谢。

Answer 1

您希望a(2)系数为负数，因为a代表出现在方程左侧的系数。

a(1)*y(n) + a(2)*y(n-1) - ... + a(na+1)*y(n-na) = b(1)*x(n) + b(2)*x(n-1) + ... + b(nb+1)*x(n-nb)

或同等地，

a = a ./ a(1)
y(n) = b(1)*x(n) + b(2)*x(n-1) + ... + b(nb+1)*x(n-nb)
                 - a(2)*y(n-1) - ... - a(na+1)*y(n-na)

请参阅文档filter

通过此修正，响应变为