立方贝塞尔曲线段

Question

如果我有4个点描述贝塞尔曲线P1,P2,P3,P4(其中P1和P4是曲线的终点,P2和P3是曲线的控制点),我怎么能找到描述的点只是这个贝塞尔曲线的一部分？

我发现这个答案正是我正在寻找的,但答案似乎错了.如果我在应该代表整个贝塞尔曲线的方程中设置t0 = 0和t1 = 1,则结果点无效.它们不等于原始点.

似乎该解决方案与De Casteljau的算法有关,但我无法理解它是如何工作的.

Answer 1

是的,De Casteljau的算法是要走的路.

参数化

如果你的曲线是不正确的参数化牛逼 = 0槽牛逼 = 1,那么您似乎使用了错误的公式来descibe你的曲线.维基百科有适合您的公式:

B(t)=(1- t)³ P ₁ + 3(1- t)² t P ₂ + 3(1- t)t ² P ₃ + t ³ P ₄

[我将维基百科中从零开始的形式的指数调整到你的问题的基础上.]

如果设置t = 0,则得到P ₁,即起点.如果设置t = 1,则得到P ₄,即终点.在两者之间,曲线的形状由这些点和两个控制点P ₂和P _3确定.

De Casteljau的算法

设t是您想要剪切曲线的参数.假设您只想保留初始部分.你绘制从P ₁到P ₂的三条线,从那里到P ₃,从那里到P ₄.这些线中的每条线在其长度的分数t处划分,即分割点之前的线的长度与整个长度相关为t:1.现在,您有三个新的点P ₁₂到P ₃₄.再次进行相同以获得两个点P ₁₂₃和P ₂₃₄,并再次获得单个点P ₁₂₃₄.最后一点是B(t),即截断曲线的终点.起点如前所述为P ₁.新控制点是P ₁₂和P ₁₂₃,就像我们构建它们的方式一样.

删除曲线的初始部分的方式相同.因此,通过两个步骤,您可以修剪曲线的两端.您获得了一组新的控制点,这些控制点完全(最多使用您使用的数值精度)描述原始曲线的一段,没有任何近似或类似的参与.

您可以将上面的所有几何描述转换为代数公式,在完美的世界中,您应该从您引用的问题的答案中得出结果.

唉,这似乎不是一个完美的世界.在撰写本文时,这些公式仅使用二阶多项式,因此它们无法描述三度曲线上的端点.正确的公式应如下:

• P" ₁ = ü ₀ ü ₀ ü ₀ P ₁ +(吨₀ ü ₀ ü ₀ + ü ₀ 吨₀ ü ₀ + ü ₀ ü ₀ 吨₀)P ₂ +(吨₀ 吨₀ ü ₀ + ü ₀ 吨₀ t ₀ + t ₀ u ₀ t ₀)P ₃ + t ₀ t ₀ t ₀ P ₄
• P" ₂ = û ₀ ü ₀ Ü ₁ P ₁ +(吨₀ Ü ₀ Ü ₁ + ü ₀ 吨₀ Ü ₁ + ü ₀ Ü ₀ 吨₁)P ₂ +(吨₀ 吨₀ Ü ₁ + ü ₀ 吨₀ t ₁ + t ₀ u ₀ t ₁)P ₃ + t ₀ t ₀ t ₁ P ₄
• P" ₃ = Ü ₀ Ü ₁ Ü ₁ P ₁ +(吨₀ Ü ₁ Ü ₁ + Ü ₀ 吨₁ Ü ₁ + Ü ₀ Ü ₁ 吨₁)P ₂ +(吨₀ 吨₁ Ü ₁ + Ü ₀ 吨₁ t ₁ + t ₀ u ₁ t ₁)P ₃ + t ₀ t ₁ t ₁ P ₄
• P" ₄ = Ü ₁ Ü ₁ ù ₁ P ₁ +(吨₁ Ü ₁ Ü ₁ + Ü ₁ 吨₁ Ü ₁ + Ü ₁ Ü ₁ 吨₁)P ₂ +(吨₁ 吨₁ Ü ₁ + Ü ₁ 吨₁ t ₁ + t ₁ u ₁ t ₁)P ₃ + t ₁ t ₁ t ₁ P ₄

其中u ₀ = 1 - t ₀且u ₁ = 1 - t ₁.

请注意,在带括号的表达式中,至少有一些术语是相同的并且可以组合.我没有这样做,因为这里所说的公式将使模式更清晰,我相信.您可以单独为x和y方向执行这些计算,以计算新的控制点.