Java逆模2**64

Question

鉴于奇怪long x,我正在寻找long y他们的产品模数2**64(即,使用正常的溢出算术)等于1.明确我的意思:这可以用几千年的方式计算:

for (long y=1; ; y+=2) {
    if (x*y == 1) return y;
}

我知道这可以使用扩展的欧几里德算法快速解决,但它需要能够表示所有涉及的数字(范围最大2**64,所以即使是无符号算术也无济于事).使用BigInteger肯定会有所帮助,但我想知道是否有更简单的方法,可能使用为正长度实现的扩展欧几里德算法.

Answer 1

这是一种方法。abs(x)这使用扩展欧几里得算法来查找模 2 ⁶²的逆，最后将答案“扩展”到模 2 ⁶⁴的逆，并在必要时应用符号更改：

public static long longInverse(long x) {

    if (x % 2 == 0) { throw new RuntimeException("must be odd"); }

    long power = 1L << 62;

    long a = Math.abs(x);
    long b = power;
    long sign = (x < 0) ? -1 : 1;

    long c1 = 1;
    long d1 = 0;
    long c2 = 0;
    long d2 = 1;

    // Loop invariants:
    // c1 * abs(x) + d1 * 2^62 = a
    // c2 * abs(x) + d2 * 2^62 = b 

    while (b > 0) {
        long q = a / b;
        long r = a % b;
        // r = a - qb.

        long c3 = c1 - q*c2;
        long d3 = d1 - q*d2;

        // Now c3 * abs(x) + d3 * 2^62 = r, with 0 <= r < b.

        c1 = c2;
        d1 = d2;
        c2 = c3;
        d2 = d3;
        a = b;
        b = r;
    }

    if (a != 1) { throw new RuntimeException("gcd not 1 !"); }

    // Extend from modulo 2^62 to modulo 2^64, and incorporate sign change
    // if necessary.
    for (int i = 0; i < 4; ++i) {
        long possinv = sign * (c1 + (i * power));
        if (possinv * x == 1L) { return possinv; }
    }

    throw new RuntimeException("failed");
}

我发现使用 2 ⁶²比 2 ⁶³更容易，主要是因为它避免了负数问题：2 ⁶³作为 Javalong是负数。