如何指定一个渐变函数,以便在optim()或其他优化器中使用

Question

我有一个优化问题,该Nelder-Mead方法将解决,但我也想解决使用BFGS或Newton-Raphson,或采取渐变功能的东西,以获得更快的速度,并希望更精确的估计.我编写了这样一个渐变函数(我认为)optim/ optimxdocumentation中的示例,但是当我使用它时,BFGS我的起始值要么不移动(optim()),否则函数完全不运行(optimx(),返回Error: Gradient function might be wrong - check it!).对不起,有一些代码涉及复制这个,但是这里有:

这是我想要获得参数估计的函数(这是为了平滑老年死亡率,其中x是年龄,从80岁开始):

    KannistoMu <- function(pars, x = .5:30.5){
      a <- pars["a"]
      b <- pars["b"]
      (a * exp(b * x)) / (1 + a * exp(b * x))
    }

这里是一个对数似然函数,用于根据观察到的速率(定义为死亡,.Dx过度暴露.Exp)来估计它:

    KannistoLik1 <- function(pars, .Dx, .Exp, .x. = .5:30.5){
      mu <- KannistoMu(exp(pars), x = .x.)
      # take negative and minimize it (default optimizer behavior)
      -sum(.Dx * log(mu) - .Exp * mu, na.rm = TRUE) 
    }

你exp(pars)在那里看到因为我给予log(pars)优化,以限制最终a和b积极.

示例数据(1962年日本女性,如果有人好奇的话):

    .Dx <- structure(c(10036.12, 9629.12, 8810.11, 8556.1, 7593.1, 6975.08, 
      6045.08, 4980.06, 4246.06, 3334.04, 2416.03, 1676.02, 1327.02, 
      980.02, 709, 432, 350, 217, 134, 56, 24, 21, 10, 8, 3, 1, 2, 
      1, 0, 0, 0), .Names = c("80", "81", "82", "83", "84", "85", "86", 
      "87", "88", "89", "90", "91", "92", "93", "94", "95", "96", "97", 
      "98", "99", "100", "101", "102", "103", "104", "105", "106", 
      "107", "108", "109", "110"))
    .Exp <- structure(c(85476.0333333333, 74002.0866666667, 63027.5183333333, 
      53756.8983333333, 44270.9, 36749.85, 29024.9333333333, 21811.07, 
      16912.315, 11917.9583333333, 7899.33833333333, 5417.67, 3743.67833333333, 
      2722.435, 1758.95, 1043.985, 705.49, 443.818333333333, 223.828333333333, 
      93.8233333333333, 53.1566666666667, 27.3333333333333, 16.1666666666667, 
      10.5, 4.33333333333333, 3.16666666666667, 3, 2.16666666666667, 
      1.5, 0, 1), .Names = c("80", "81", "82", "83", "84", "85", "86", 
      "87", "88", "89", "90", "91", "92", "93", "94", "95", "96", "97", 
      "98", "99", "100", "101", "102", "103", "104", "105", "106", 
      "107", "108", "109", "110"))

以下适用于该Nelder-Mead方法:

    NMab <- optim(log(c(a = .1, b = .1)), 
      fn = KannistoLik1, method = "Nelder-Mead",
      .Dx = .Dx, .Exp = .Exp)
    exp(NMab$par) 
    # these are reasonable estimates
       a         b 
    0.1243144 0.1163926

这是我提出的渐变功能:

    Kannisto.gr <- function(pars, .Dx, .Exp, x = .5:30.5){
      a <- exp(pars["a"])
      b <- exp(pars["b"])
      d.a <- (a * exp(b * x) * .Exp + (-a * exp(b * x) - 1) * .Dx) /
        (a ^ 3 * exp(2 * b * x) + 2 * a ^ 2 * exp(b * x) + a)
      d.b <- (a * x * exp(b * x) * .Exp + (-a * x * exp(b * x) - x) * .Dx) /
        (a ^ 2 * exp(2 * b * x) + 2 * a * exp(b * x) + 1)
      -colSums(cbind(a = d.a, b = d.b), na.rm = TRUE)
    }

输出是长度为2的向量,相对于参数a和的变化b.我也有一个丑陋的版本,通过利用输出deriv(),它返回相同的答案,我不发布(只是为了确认衍生物是正确的).

如果我optim()按如下方式提供,则使用BFGS方法时,估计值不会从起始值移动:

    BFGSab <- optim(log(c(a = .1, b = .1)), 
      fn = KannistoLik1, gr = Kannisto.gr, method = "BFGS",
      .Dx = .Dx, .Exp = .Exp)
    # estimates do not change from starting values:
    exp(BFGSab$par) 
      a   b 
    0.1 0.1

当我查看$counts输出的元素时,它表示KannistoLik1()被称为31次而Kannisto.gr()只是1次.$convergence是的0,所以我猜它认为它收敛了(如果我给出不太合理的开始它们也会保持不变).我减少了容忍度等,没有任何变化.当我尝试相同的调用optimx()(未显示)时,我收到了上面提到的警告,并且没有返回任何对象.指定时,我得到了相同的结果gr = Kannisto.gr与"CG".使用该"L-BFGS-B"方法,我得到与估计相同的起始值,但也报告函数和梯度都被调用了21次,并且有一条错误消息: "ERROR: BNORMAL_TERMINATION_IN_LNSRCH"

我希望在编写渐变函数的方式中有一些细微的问题可以解决这个问题,因为后来的警告和optimx行为直截了当地暗示函数根本就不对(我认为).我也尝试了包中的maxNR()maximizer maxLik并观察到类似的行为(起始值不移动).任何人都可以给我指针吗？非常感谢

[编辑] @Vincent建议我与数值近似的输出进行比较:

    library(numDeriv)
    grad( function(u) KannistoLik1( c(a=u[1], b=u[2]), .Dx, .Exp ), log(c(.1,.1)) )
    [1] -14477.40  -7458.34
    Kannisto.gr(log(c(a=.1,b=.1)), .Dx, .Exp)
     a        b 
    144774.0  74583.4 

如此不同的标志,并减少了10倍？我改变渐变函数以效仿:

    Kannisto.gr2 <- function(pars, .Dx, .Exp, x = .5:30.5){
      a <- exp(pars["a"])
      b <- exp(pars["b"])
      d.a <- (a * exp(b * x) * .Exp + (-a * exp(b * x) - 1) * .Dx) /
        (a ^ 3 * exp(2 * b * x) + 2 * a ^ 2 * exp(b * x) + a)
      d.b <- (a * x * exp(b * x) * .Exp + (-a * x * exp(b * x) - x) * .Dx) /
        (a ^ 2 * exp(2 * b * x) + 2 * a * exp(b * x) + 1)
      colSums(cbind(a=d.a,b=d.b), na.rm = TRUE) / 10
    }
    Kannisto.gr2(log(c(a=.1,b=.1)), .Dx, .Exp)
    # same as numerical:
      a         b 
    -14477.40  -7458.34 

在优化器中尝试:

    BFGSab <- optim(log(c(a = .1, b = .1)), 
      fn = KannistoLik1, gr = Kannisto.gr2, method = "BFGS",
      .Dx = .Dx, .Exp = .Exp)
    # not reasonable results:
    exp(BFGSab$par) 
      a   b 
    Inf Inf 
    # and in fact, when not exp()'d, they look oddly familiar:
    BFGSab$par
      a         b 
    -14477.40  -7458.34 

根据Vincent的回答,我重新调整了渐变函数,并使用abs()而不是exp()保持参数为正.最近的,性能更好的物镜和渐变功能:

    KannistoLik2 <- function(pars, .Dx, .Exp, .x. = .5:30.5){
      mu <- KannistoMu.c(abs(pars), x = .x.)
      # take negative and minimize it (default optimizer behavior)
      -sum(.Dx * log(mu) - .Exp * mu, na.rm = TRUE) 
    }

    # gradient, to be down-scaled in `optim()` call
    Kannisto.gr3 <- function(pars, .Dx, .Exp, x = .5:30.5){
      a <- abs(pars["a"])
      b <- abs(pars["b"])
      d.a <- (a * exp(b * x) * .Exp + (-a * exp(b * x) - 1) * .Dx) /
        (a ^ 3 * exp(2 * b * x) + 2 * a ^ 2 * exp(b * x) + a)
      d.b <- (a * x * exp(b * x) * .Exp + (-a * x * exp(b * x) - x) * .Dx) /
        (a ^ 2 * exp(2 * b * x) + 2 * a * exp(b * x) + 1)
      colSums(cbind(a = d.a, b = d.b), na.rm = TRUE) 
    }

    # try it out:
    BFGSab2 <- optim(
      c(a = .1, b = .1), 
      fn = KannistoLik2, 
      gr = function(...) Kannisto.gr3(...) * 1e-7, 
      method = "BFGS",
      .Dx = .Dx, .Exp = .Exp
    )
    # reasonable:
    BFGSab2$par
            a         b 
    0.1243249 0.1163924 

    # better:
    KannistoLik2(exp(NMab1$par),.Dx = .Dx, .Exp = .Exp) > KannistoLik2(BFGSab2$par,.Dx = .Dx, .Exp = .Exp)
    [1] TRUE

这个解决得比我预期的要快得多,而且我学到的不仅仅是几个技巧.谢谢文森特!

Answer 1

要检查渐变是否正确,可以将其与数值近似值进行比较:

library(numDeriv); 
grad( function(u) KannistoLik1( c(a=u[1], b=u[2]), .Dx, .Exp ), c(1,1) ); 
Kannisto.gr(c(a=1,b=1), .Dx, .Exp)

这些迹象是错误的:当算法向这个方向移动时算法没有任何改进,因此不会移动.

您可以使用一些计算机代数系统(此处为Maxima)为您进行计算:

display2d: false;
f(a,b,x) := a * exp(b*x) / ( 1 + a * exp(b*x) );
l(a,b,d,e,x) := - d * log(f(a,b,x)) + e * f(a,b,x);
factor(diff(l(exp(a),exp(b),d,e,x),a));
factor(diff(l(exp(a),exp(b),d,e,x),b));

我只是将结果复制并粘贴到R中:

f_gradient <- function(u, .Dx, .Exp, .x.=.5:30.5) {
  a <- u[1]
  b <- u[1]
  x <- .x.
  d <- .Dx
  e <- .Exp
  c(
    sum( (e*exp(exp(b)*x+a)-d*exp(exp(b)*x+a)-d)/(exp(exp(b)*x+a)+1)^2 ),
    sum( exp(b)*x*(e*exp(exp(b)*x+a)-d*exp(exp(b)*x+a)-d)/(exp(exp(b)*x+a)+1)^2 )
  )  
}

library(numDeriv)
grad( function(u) KannistoLik1( c(a=u[1], b=u[2]), .Dx, .Exp ), c(1,1) )
f_gradient(c(a=1,b=1), .Dx, .Exp)  # Identical

如果你盲目地将梯度放在优化中,就会出现数值不稳定问题:给出的解决方案是(Inf,Inf)......为了防止它,你可以重新调整渐变(更好的解决方法是使用比指数更小的爆炸性转换,到确保参数保持正值).

BFGSab <- optim(
  log(c(a = .1, b = .1)), 
  fn = KannistoLik1, 
  gr = function(...) f_gradient(...) * 1e-3, 
  method = "BFGS",
  .Dx = .Dx, .Exp = .Exp
)
exp(BFGSab$par) # Less precise than Nelder-Mead