哪个函数增长得更快,指数或因子？

Question

哪个函数增长得更快,指数(如2 ^ n,n ^ n,e ^ n等)或阶乘(n!)？Ps:我刚读到某个地方,n!增长快于2 ^ n.

Answer 1

N!最终比具有常数基数(2 ^ n和e ^ n)的指数增长更快,但是n ^ n比n增长更快!因为基数随着n的增加而增长.

Answer 2

n! = n * (n-1) * (n-2) * ...

n^n = n * n * n * ...

第一个之后的每个术语n^n都更大,因此n ^ n将增长得更快.

Answer 3

n^n增长大于n!- 一个很好的解释，请参阅@AlexQueue 的答案。

对于其他情况，请继续阅读：

阶乘函数确实比指数函数渐近增大，但差异何时开始并不清楚。例如，对于n=5和k=10，阶乘5!=120仍然小于10^5=10000。为了找出阶乘函数何时开始变大，我们必须进行一些快速的数学分析。

我们使用斯特林公式和基本对数运算：

log_k(n!) ~ n*log_k(n) - n*log_k(e)

k^n = n!
log_k(k^n) = log_k(n!)
n*log_k(k) = log_k(n!)
n = log_k(n!)

n ~ n*log_k(n) - n*log_k(e)
1 ~ log_k(n) - log_k(e)
log_k(n) - log_k(e) - 1 ~ 0
log_k(n) - log_k(e) - log_k(k) ~ 0
log_k(n/(e*k)) ~ 0

n/(e*k) ~ 1
n ~ e*k

因此，一旦n达到 的大小的近 3 倍k，阶乘函数将开始变得比指数函数更大。对于大多数现实场景，我们将使用较大的 值n和较小的 值k，因此在实践中，我们可以假设阶乘函数严格大于指数函数。