Python浮点任意精度可用吗？

Question

只是为了好玩,因为它非常简单,我编写了一个简短的程序来生成嫁接数,但由于浮点精度问题,它没有找到一些更大的例子.

def isGrafting(a):
  for i in xrange(1, int(ceil(log10(a))) + 2):
    if a == floor((sqrt(a) * 10**(i-1)) % 10**int(ceil(log10(a)))):
      return 1

a = 0
while(1):
  if (isGrafting(a)):
    print "%d %.15f" % (a, sqrt(a))
  a += 1

此代码缺少至少一个已知的嫁接编号.9999999998 => 99999.99998999999999949999999994999999999374999999912... 它乘以后似乎会降低额外的精度10**5.

>>> a = 9999999998
>>> sqrt(a)
99999.99999
>>> a == floor((sqrt(a) * 10**(5)) % 10**int(ceil(log10(a))))
False
>>> floor((sqrt(a) * 10**(5)) % 10**int(ceil(log10(a))))
9999999999.0
>>> print "%.15f" % sqrt(a)
99999.999989999996615
>>> print "%.15f" % (sqrt(a) * 10**5)
9999999999.000000000000000

所以我写了一个简短的C++程序,看看是不是我的CPU以某种方式截断了浮点数或python.

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <stdint.h>

int main()
{
  uint64_t a = 9999999998;
  printf("%ld %.15f %.15f %.15f %.15f\n", a, sqrt((double)a), sqrt((double)a)*1e4, sqrt((double)a)*1e5, sqrt((double)a)*1e6);
  a = 999999999998;
  printf("%ld %.15f %.15f %.15f %.15f\n", a, sqrt((double)a), sqrt((double)a)*1e5, sqrt((double)a)*1e6, sqrt((double)a)*1e7);
  a = 99999999999998;
  printf("%ld %.15f %.15f %.15f %.15f\n", a, sqrt((double)a), sqrt((double)a)*1e6, sqrt((double)a)*1e7, sqrt((double)a)*1e8);
  return 0;
}

哪个输出:

9999999998 99999.999989999996615 999999999.899999976158142 9999999999.000000000000000 99999999990.000000000000000
999999999998 999999.999998999992386 99999999999.899993896484375 999999999999.000000000000000 9999999999990.000000000000000
99999999999998 9999999.999999899417162 9999999999999.900390625000000 99999999999999.000000000000000 999999999999990.000000000000000

所以看起来我正在努力克服浮点精度的限制,并且CPU正在切断剩余的位,因为它认为剩下的差异是浮点错误.有没有办法在Python下解决这个问题？或者我是否需要转移到C并使用GMP或其他什么？

Answer 1

在标准库中,decimal模块可能是您正在寻找的.另外,我发现mpmath非常有帮助.该文档也有很多很好的例子(不幸的是我的办公室计算机没有mpmath安装;否则我会验证一些例子并发布它们).

decimal但是,关于该模块的一个警告.该模块包含几个用于简单数学运算的内置函数(例如sqrt),但这些函数的结果可能并不总是与math更高精度的相应函数或其他模块匹配(尽管它们可能更准确).例如,

from decimal import *
import math

getcontext().prec = 30
num = Decimal(1) / Decimal(7)

print("   math.sqrt: {0}".format(Decimal(math.sqrt(num))))
print("decimal.sqrt: {0}".format(num.sqrt()))

在Python 3.2.3中,它输出前两行

   math.sqrt: 0.37796447300922719758631274089566431939601898193359375
decimal.sqrt: 0.377964473009227227214516536234
actual value: 0.3779644730092272272145165362341800608157513118689214

如上所述,并不完全符合您的预期,您可以看到精度越高,结果越匹配.请注意,decimal在此示例中,模块确实具有更高的准确性,因为它更接近实际值.

Answer 2

对于这个特殊问题,这decimal是一个很好的方法,因为它将十进制数字存储为元组!

>>> a = decimal.Decimal(9999999998)
>>> a.as_tuple()
DecimalTuple(sign=0, digits=(9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 8), exponent=0)

由于您正在寻找以十进制表示法自然表达的属性,因此使用二进制表示法有点愚蠢.您链接到的维基百科页面并未指示在"嫁接数字"开始之前可能出现多少"非嫁接数字",因此您可以指定:

>>> def isGrafting(dec, max_offset=5):
...     dec_digits = dec.as_tuple().digits
...     sqrt_digits = dec.sqrt().as_tuple().digits
...     windows = [sqrt_digits[o:o + len(dec_digits)] for o in range(max_offset)]
...     return dec_digits in windows
... 
>>> isGrafting(decimal.Decimal(9999999998))
True
>>> isGrafting(decimal.Decimal(77))
True

我认为Decimal.sqrt(),math.sqrt()由于二进制表示和十进制表示之间的转换,结果很可能至少对此更为准确.请考虑以下情况,例如:

>>> num = decimal.Decimal(1) / decimal.Decimal(7)
>>> decimal.Decimal(math.sqrt(num) ** 2) * 7
Decimal('0.9999999999999997501998194593')
>>> decimal.Decimal(num.sqrt() ** 2) * 7
Decimal('1.000000000000000000000000000')

Answer 3

您可以尝试使用Decimal而不是浮点数.

Answer 4

Python没有内置的任意精度浮点数,但是有第三方Python包使用GMP: gmpy和PyGMP.