四元数旋转无法正常运行

Question

在适用于Android的OpenGL ES 1中，我有一个Rubic多维数据集，其中包含27个较小的多维数据集。我想要旋转，使特定的小立方体正好位于视点的前面。所以我需要两个向量 一个是从对象原点到特定立方体的向量。另一个是从原点到视点的向量。然后它们的叉积给我旋转轴，点积给我角度。

我将（0,0,1）（这是从原点到世界坐标中的视点的向量）转换为对象坐标。这是代码：

    matrixGrabber.getCurrentModelView(gl);
    temporaryMatrix.set(matrixGrabber.mModelView);

    inputVector[0] = 0f; 
    inputVector[1] = 0f;
    inputVector[2] = 1f;
    inputVector[3] = 1f;
    Matrix.multiplyMV(resultVector, 0, temporaryMatrix.InvertMatrix(), 0, inputVector,0);
    resultVector[0]/=resultVector[3];
    resultVector[1]/=resultVector[3];
    resultVector[2]/=resultVector[3];

    inputVector = ..... // appropriate vector due to user-selection 

    axis = Vector.normalized(Vector.crossProduct(Vector.normalized(inputVector), Vector.normalized(resultVector)));
    degree = (float)Math.toDegrees(Math.acos(Vector.dot(Vector.normalized(inputVector), Vector.normalized(resultVector))));

我使用两个四元数进行旋转。每次用户选择一个动作时，都会发生一种轮换。这是代码：

    Quaternion currentRotation = new Quaternion();
    Quaternion temporaryRotation = new Quaternion();
    .
    .
    .
     currentRotation = (currentRotation).mulLeft(temporaryRotation.set(axis, degree));
     currentRotation.toMatrix(matrix);
     gl.glMatrixMode(GL10.GL_MODELVIEW);
     gl.glMultMatrixf(matrix, 0);

现在的问题是，它在第​​一次旋转时效果很好。不管第一次旋转。它运作良好，但是对于下一个旋转，它似乎得到了错误的轴和度。

例如，如果坐标系为

• X右（1,0,0）
• 向上（0,1,0）
• Z轴（0,0,1）

然后首先绕逆时针（CCW）旋转X 90度产生

• X'-右（1,0,0）
• Y'-in（0,0,1）
• Z'-向下（0，-1,0）

第二次绕Z 90度逆时针旋转产生

• X'-in（0,1,0）
• 向左Y'（-1,0,0）
• Z'-向下（0，-1,0）

但我期望

• X向上（0,1,0）
• Y英寸（0,0,1）
• Z向右（1,0,0）

我认为问题在于resultVector（我使用的第二个向量，它是从原点到视点的）不能正确转换。有人知道如何将世界坐标转换为对象坐标吗？有谁知道当物体旋转时我们如何确定物体坐标？

Answer 1

好吧，昨天我决定编写 Rubic Cube 拼图，因为我过去尝试过的任何拼图对我来说都非常不舒服，最后我有一些心情/时间自己编写代码。当我完成它时，这里是我的见解：

1. 魔方表示

   我不认为四元数是一个好的选择。相反，我更喜欢：

   • 4x4 均匀变换矩阵

   所以我最终得到了3*3*3=27变换矩阵列表加上一个用于整个立方体旋转的附加矩阵。在开始状态下，所有子立方体都有单位旋转部分，原点设置为覆盖 的所有组合{ -1 , 0 ,+1 }以填充整个 Rubic Cube（每个子立方体网格的大小为1.0并以 为中心(0,0,0)）

   

   我的多维数据集在 C++ 代码中定义如下：

   reper cube[27]; // reper is transform matrix
   

2. 图形用户界面

   我希望控制和查看尽可能接近真实的东西。所以旋转是由鼠标通过简单点击目标子立方体（inarea0或area1）来控制的，然后从鼠标拖动的方向决定哪个轴旋转以及向哪个方向旋转。

   从起始位置没有问题（因为即使您的代码也适用于此）。问题从下一次旋转开始（尤其是在改变旋转轴时），因为局部坐标系已经改变。全局视图旋转也是如此，因为它会弄乱所有这些。

3. 如何补救不断变化的局部坐标系？

   我想出了一个模糊的解决方案，我首先从每个坐标系匹配轴。为了检测哪个轴是哪个轴，我只需对查询方向与变换矩阵的所有轴进行点积，然后选择绝对点积最高的那个轴。该符号仅说明坐标系是否相反（意味着应该反转旋转）。

   在C++和OpenGL样式矩阵中，它看起来像这样：

   reper cube[27]; // reper is transform matrix
   

   reper包含直接和逆变换矩阵的类在哪里。的get_axis直接矩阵和返回选择的轴方向的单位矢量内部只是偷看。这vector_mul是点积，vector_ld只是用x,y,z坐标填充 3D 矢量。

   因为我也得到了全局立方体矩阵，它不是与单位矩阵对齐的（因为它被旋转，所以视图看起来像上图）然后我需要对特殊向量（初始视图矩阵值）进行这个轴匹配在我的情况下就是这个：

   void RubiCube::axises_unit(reper &rep,int &x,int &y,int &z,int &sx,int &sy,int &sz)
       {
       int i;
       double p[3],xyz[3][3],a,b;
       rep.axisx_get(xyz[0]);
       rep.axisy_get(xyz[1]);
       rep.axisz_get(xyz[2]);
       vector_ld(p,1.0,0.0,0.0); for (b=0.0,i=0;i<3;i++) { a=vector_mul(xyz[i],p); if (fabs(a)>=fabs(b)) { x=i; b=a; } } sx=+1; if (b<0) sx=-1;
       vector_ld(p,0.0,1.0,0.0); for (b=0.0,i=0;i<3;i++) { a=vector_mul(xyz[i],p); if (fabs(a)>=fabs(b)) { y=i; b=a; } } sy=+1; if (b<0) sy=-1;
       vector_ld(p,0.0,0.0,1.0); for (b=0.0,i=0;i<3;i++) { a=vector_mul(xyz[i],p); if (fabs(a)>=fabs(b)) { z=i; b=a; } } sz=+1; if (b<0) sz=-1;
       }
   

   x,y,z与单位变换矩阵相比，这两个函数都返回哪个轴是哪个轴以及方向是否相反 (sx,sy,sz)。

4. 切片旋转

   这是拼图的核心。它简单地绕轴旋转切片。这用于动画，因此角度步长很小（我使用 9 度），但整个转弯必须总共 90 度，否则魔方会破裂。

   void RubiCube::axises_obj(reper &rep,int &x,int &y,int &z,int &sx,int &sy,int &sz)
       {
       int i;
       double p[3],xyz[3][3],a,b;
       rep.axisx_get(xyz[0]);
       rep.axisy_get(xyz[1]);
       rep.axisz_get(xyz[2]);
       vector_ld(p,+0.707,-0.299,-0.641); for (b=0.0,i=0;i<3;i++) { a=vector_mul(xyz[i],p); if (fabs(a)>=fabs(b)) { x=i; b=a; } } sx=+1; if (b<0) sx=-1;
       vector_ld(p,-0.000,-0.906,+0.423); for (b=0.0,i=0;i<3;i++) { a=vector_mul(xyz[i],p); if (fabs(a)>=fabs(b)) { y=i; b=a; } } sy=+1; if (b<0) sy=-1;
       vector_ld(p,-0.707,-0.299,-0.641); for (b=0.0,i=0;i<3;i++) { a=vector_mul(xyz[i],p); if (fabs(a)>=fabs(b)) { z=i; b=a; } } sz=+1; if (b<0) sz=-1;
       }
   

   哪里reper::gpos_get将矩阵原点作为 3D 向量（点）返回，并reper::gpos_set基本上设置新的矩阵位置。该vector_rotx(p0,p,a)旋转矢量p围绕p0和轴x由角度a。这些+/-标志只是为了匹配reper课堂上的轮换（我在某处有所不同）。该reper::lrotx旋转reper围绕其局部x轴的更多信息请参见第一个链接。

   如您所见，我直接使用每个矩阵原点坐标作为拓扑来选择切片立方体。

在这里你可以试试我的演示： Win32+OpenGL Rubic Cube Demo

这里是一些转弯的动画 gif：

[Edit1] 我在我的 RubiCube 中添加了简单的求解器

为了实现求解器，我添加了根据我的RubiCube内部表示计算的表面平面颜色贴图（在左侧......中间的方块是我使用的边的名称和索引）。我还为求解器添加了内部命令 que（右侧的轴和方向）：

每个命令由 2 个字符串表示：

edge slice  CW: R L U D F B
edge slice CCW: R'L'U'D'F'B'
mid  slice  CW: R0L0U0D0F0B0
whole cube  CW: RcLcUcDcFcBc

地图如下所示：

int map[6][3][3];

其中map[side][u][v]边s、行u和列包含正方形的颜色v。我实现了简单的7 步解决方案（比如人工求解真正的立方体）：

1. 输入状态（不是一个步骤）
2. 白十字黄中（黄中朝前）
3. 白色十字（白色中间朝前）
4. 白色边角（白色面朝下）
5. 中间层（使用前 3 个命令）
6. 顶层黄色十字（使用第 4 个命令）
7. 重新排序交叉使双方匹配（第 5 个命令）和重新排序角（第 6 个命令）
8. 定向顶层角以完成立方体（第 7 个命令）

求解器很简单，对字符串进行操作（未优化），所以它有点慢，但无论如何，完整的解决方案在我的设置中最多需要 50 毫秒。您可以在这里尝试升级的演示：

• Win32+OpenGL Rubic Cube Demo with solver

解决时可能仍然存在一些未定义的情况（由于代码中的错误或遗漏情况）。在这种情况下，应用程序会很粗糙（尚未实现看门狗）。密钥在包含的文本文件中进行了描述。

我做了轻量级的求解器（大约 300 行代码），所以找到的解决方案远非最佳。例如，代替测试 4 个角，我只测试一个角并循环旋转立方体，导致不必要的转弯。其中一些后来被过滤掉了，但人类（我的）解决方案的平均次数高达 200 圈，而这个求解器却返回了 300 圈（在最坏的情况下，我直到现在才发现）。