在无向图中查找路径

Question

请考虑以下图表:

由以下数组结构表示:

$graph = array
(
    'a' => array(),
    'b' => array('a'),
    'c' => array('a', 'b'),
    'd' => array('a'),
    'e' => array('d'),
    'f' => array('a', 'b', 'c', 'd'),
    'g' => array('d'),
    'h' => array('c'),
    'i' => array('c', 'g'),
    'j' => array(),
);

在没有重复节点的情况下,在任一方向上从节点X到节点Y 查找所有路径(不仅是最短路径)的最有效算法是什么？例如,从节点到节点的路径是:CA

C --> A
C --> B --> A
C --> F --> A
C --> F --> B --> A
C --> F --> D --> A
C --> I --> G --> D --> A

使用节点的父节点X(A以及B在节点的示例中C)查找所有路径是微不足道的,但是我很难在后代/混合方向上遍历节点.

有人可以帮我吗？

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更新:在@JackManey建议之后,我尝试根据Wikipedia伪代码移植IDDFS(Iterative Deepening Depth-First Search),这或多或少是我的代码的样子:

$graph = directed2Undirected($graph);

function IDDFS($root, $goal) {
    $depth = 0;

    while ($depth <= 2) { // 2 is hard-coded for now
        $result = DLS($root, $goal, $depth);

        if ($result !== false) {
            return $result;
        }

        $depth++;
    }
}

function DLS($node, $goal, $depth) {
    global $graph;

    if (($depth >= 0) && ($node == $goal)) {
        return $node;
    }

    else if ($depth > 0) {
        foreach (expand($node, $graph) as $child) {
            return DLS($child, $goal, $depth - 1);
        }
    }

    else {
        return false;
    }
}

以下是它使用的辅助函数:

function directed2Undirected($data) {
    foreach ($data as $key => $values) {
        foreach ($values as $value) {
            $data[$value][] = $key;
        }
    }

    return $data;
}

function expand($id, $data, $depth = 0) {
    while (--$depth >= 0) {
        $id = flatten(array_intersect_key($data, array_flip((array) $id)));
    }

    return array_unique(flatten(array_intersect_key($data, array_flip((array) $id))));
}

function flatten($data) {
    $result = array();

    if (is_array($data) === true) {
        foreach (new RecursiveIteratorIterator(new RecursiveArrayIterator($data)) as $value) {
            $result[] = $value;
        }
    }

    return $result;
}

调用上述内容会产生奇怪或不完整的结果:

var_dump(IDDFS('c', 'a')); // a -- only 1 path?
var_dump(IDDFS('c', 'd')); // NULL -- can't find this path?!

我想我忽略了伪代码中的某些东西,但我不确定它是什么.

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我也尝试过在另一个问题中推荐的这个DFS类,虽然它似乎总是找到从节点X到节点Y的一条路径,我无法让它返回所有路径(演示为C- >A和C- >D).

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由于我不需要知道实际采用的路径,只需要有多少路径需要n从节点X到节点Y 的步骤,我想出了这个函数(directed2Undirected在上面使用):

$graph = directed2Undirected($graph);

function Distance($node, $graph, $depth = 0) {
    $result = array();

    if (array_key_exists($node, $graph) === true) {
        $result = array_fill_keys(array_keys($graph), 0);

        foreach (expand($node, $graph, $depth - 1) as $child) {
            if (strcmp($node, $child) !== 0) {
                $result[$child] += $depth;
            }
        }

        $result[$node] = -1;
    }

    return $result;
}

function expand($id, $data, $depth = 0) {
    while (--$depth >= 0) {
        $id = flatten(array_intersect_key($data, array_flip((array) $id)));
    }

    // no array_unique() now!
    return flatten(array_intersect_key($data, array_flip((array) $id)));
}

对于Distance('c', $graph, 0),Distance('c', $graph, 1)并且Distance('c', $graph, 2)这正确地返回了C与任何其他节点之间的距离之和.问题是,随着Distance('c', $graph, 3)(和 更高)它开始重复节点并返回错误的结果:

Array
(
    [a] => 12
    [b] => 9
    [c] => -1
    [d] => 9
    [e] => 3
    [f] => 12
    [g] => 3
    [h] => 3
    [i] => 6
    [j] => 0
)

该指数a应该只有6(3 + 3),因为唯一的方法,我可以从中获取C到A使用3个步骤是:

C --> F --> B --> A
C --> F --> D --> A

然而,它似乎正在考虑重复节点的两个(仅？)附加路径:

C --> A --> C --> A
C --> B --> C --> A
C --> F --> C --> A
C --> H --> C --> A
C --> I --> C --> A

当然,索引a不是唯一错误的.问题似乎是,expand()但我不知道如何解决它,array_diff(expand('c', $graph, $i), expand('c', $graph, $i - 2))似乎解决了这个特殊的错误,但这不是一个正确的修复...帮助？

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_{^{再次,所以你不必滚动}}

Answer 1

一般来说，您可以进行深度优先搜索或广度优先搜索，尽管两者都不优于另一个（因为很容易想出一个优于另一个的示例）。

编辑： 在重新阅读问题并思考一下后，由于您想要从C到 的所有路径A，因此从 开始的 DFSC可能最有意义。在此过程中，您必须存储边序列，如果它们不以 结尾，则将其丢弃A。