如何使用微分方程求解脉冲响应？

Question

给定一个微分方程： y[n] - 0.9y[n-1] + 0.81y[n-2] = x[n] - x[n-2]

一种。找到h[n], n=0,1,2使用递归的脉冲响应。

湾 使用 MATLAB 命令滤波器查找脉冲响应。

Answer 1

我知道这是作业，所以我会尽量给你指导，而不是完全给出答案：

使用递归

这实际上很简单，因为微分方程几乎完全包含递归函数的主体： y[n] = 0.9y[n-1] - 0.81y[n-2] + x[n] - x[n- 2]

粗体部分实际上是递归调用！您需要做的是构建一个函数（我们称之为func），它接收x和n，并计算y[n]：

function y = func(x, n)
   if (n < 0)
      %# Handling for edge case n<0
      return 0
   else if (n == 0)
      %# Handling for edge case n=0
      return x(0)
   else
      %# The recursive loop
      return 0.9 * func(x, n-1) - 0.81 * func(x, n-2) + x(n) - x(n-2)
   end

请注意，它是伪代码，因此您仍然需要检查边缘情况并处理索引（MATLAB 中的索引从 1 开始而不是 0！）。

使用过滤器

数字滤波器的响应实际上是您正在寻找的 y[n]。您可能从课程中了解到，该滤波器的系数将是微分方程中指定的系数。MATLAB 有一个内置函数filter来模拟这一点，所以如果你写：

B = [1, 0, 1];        %# Coefficients for x
A = [1, 0.9, -0.81];  %# Coefficients for y
y = filter(B, A, x);

你会得到一个包含 y[n] 的所有值的输出向量。