C中浮点数据类型的范围？

Question

我正在读一本C书,谈论浮点范围,作者给出了表:

Type     Smallest Positive Value  Largest value      Precision
====     =======================  =============      =========
float    1.17549 x 10^-38         3.40282 x 10^38    6 digits
double   2.22507 x 10^-308        1.79769 x 10^308   15 digits

我不知道最小正值和最大值列中的数字来自哪里.

Answer 1

32位浮点数具有23 + 1位尾数和8位指数(尽管使用-126到127),因此您可以表示的最大数字是:

(1 + 1 / 2 + ... 1 / (2 ^ 23)) * (2 ^ 127) = 
(2 ^ 23 + 2 ^ 23 + .... 1) * (2 ^ (127 - 23)) = 
(2 ^ 24 - 1) * (2 ^ 104) ~= 3.4e38

Answer 2

这些数字来自IEEE-754标准,该标准定义了浮点数的标准表示.链接上的维基百科文章解释了如何知道用于符号,尾数和指数的位数,以达到这些范围.

Answer 3

float数据类型的值来自总共32位,表示像这样分配的数字:

1位:符号位

8位:指数p

23位:尾数

指数存储p + BIAS在BIAS为127的位置,尾数有23位,假定为第24位隐藏位.该隐藏位是尾数的最高位(MSB),必须选择指数使其为1.

这意味着您可以表示的最小数字01000000000000000000000000000000是1x2^-126 = 1.17549435E-38.

最大值是011111111111111111111111111111111,尾数是2*(1 - 1/65536),指数是127,它给出(1 - 1 / 65536) * 2 ^ 128 = 3.40277175E38.

相同的原则适用于双精度,除了位是:

1位:符号位

11位:指数位

52位:尾数位

偏差:1023

因此从技术上讲,限制来自用于表示浮点数的IEEE-754标准,以上是这些限制的出现方式

Answer 4

无穷大、NaN 和次正规数

这些是迄今为止没有其他答案提到的重要警告。

首先阅读 IEEE 754 和次正规数简介：什么是次正规浮点数？

然后，对于单精度浮点数（32 位）：

• IEEE 754 规定，如果指数全为 1 ( 0xFF == 255)，则它表示 NaN 或 Infinity。

  这就是为什么最大的非无穷数有指数0xFE == 254而不是0xFF。

  然后加上偏置，就变成了：

  254 - 127 == 127
  

• FLT_MIN是最小的正规数。但还有更小的非正常的！它们占据了-127指数槽。

以下程序的所有断言都在 Ubuntu 18.04 amd64 上通过：

#include <assert.h>
#include <float.h>
#include <inttypes.h>
#include <math.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>

float float_from_bytes(
    uint32_t sign,
    uint32_t exponent,
    uint32_t fraction
) {
    uint32_t bytes;
    bytes = 0;
    bytes |= sign;
    bytes <<= 8;
    bytes |= exponent;
    bytes <<= 23;
    bytes |= fraction;
    return *(float*)&bytes;
}

int main(void) {
    /* All 1 exponent and non-0 fraction means NaN.
     * There are of course many possible representations,
     * and some have special semantics such as signalling vs not.
     */
    assert(isnan(float_from_bytes(0, 0xFF, 1)));
    assert(isnan(NAN));
    printf("nan                  = %e\n", NAN);

    /* All 1 exponent and 0 fraction means infinity. */
    assert(INFINITY == float_from_bytes(0, 0xFF, 0));
    assert(isinf(INFINITY));
    printf("infinity             = %e\n", INFINITY);

    /* ANSI C defines FLT_MAX as the largest non-infinite number. */
    assert(FLT_MAX == 0x1.FFFFFEp127f);
    /* Not 0xFF because that is infinite. */
    assert(FLT_MAX == float_from_bytes(0, 0xFE, 0x7FFFFF));
    assert(!isinf(FLT_MAX));
    assert(FLT_MAX < INFINITY);
    printf("largest non infinite = %e\n", FLT_MAX);

    /* ANSI C defines FLT_MIN as the smallest non-subnormal number. */
    assert(FLT_MIN == 0x1.0p-126f);
    assert(FLT_MIN == float_from_bytes(0, 1, 0));
    assert(isnormal(FLT_MIN));
    printf("smallest normal      = %e\n", FLT_MIN);

    /* The smallest non-zero subnormal number. */
    float smallest_subnormal = float_from_bytes(0, 0, 1);
    assert(smallest_subnormal == 0x0.000002p-126f);
    assert(0.0f < smallest_subnormal);
    assert(!isnormal(smallest_subnormal));
    printf("smallest subnormal   = %e\n", smallest_subnormal);

    return EXIT_SUCCESS;
}

GitHub 上游.

编译并运行：

gcc -ggdb3 -O0 -std=c11 -Wall -Wextra -Wpedantic -Werror -o subnormal.out subnormal.c
./subnormal.out

输出：

nan                  = nan
infinity             = inf
largest non infinite = 3.402823e+38
smallest normal      = 1.175494e-38
smallest subnormal   = 1.401298e-45