多级无穷大

Question

一些程序员认为理论CS课程(特别是我的学生)并没有多大意义.这是我发现非常相关的东西.让我为那些以前没见过的人制作碎片......

A)编程问题可以重写为有关语言的问题.

B)图灵机识别语言.

C)图灵机可以编码为(大)整数.

D)因此,可能的图灵机的数量是无穷无尽的

E)集合的幂集只是该集合的所有可能子集.

F)如果一个集合是无数的,它的功率集更大,即无数无限.

G)因此,如果一种语言是无限的,它就有无数无数的子集.这些都代表了一个问题.但是,只有很多图灵机可以用来解决这些问题.如果我们无法解决图灵机的问题,就无法解决.

结论......我们只能解决所有问题的无限小部分.

我的问题几乎就在这里......

每当我向学生提出这个论点时,他们就会陷入可数与无数无限之间.他们通常没有很强的数学背景,所以试图通过康托尔的对角化论证来解释他们的眼睛.

通常我试着给他们一些他们可以抓住的东西,比如这样......在计数数字线的任何部分放置一个有限的盒子,我们捕获有限数量的那些数字......但是在有限的数量上放置一个有限的盒子.实数行,我们捕获无限数量的实数.一种证据表明存在的实数比计数数字多.

最后我的问题......你如何向那些从未听过这个概念的人解释多层次无穷大的概念,可能不是数学倾向的？

最终编辑:我通过提出这个问题了解了很多,并且我很感激反馈.我浪费了太多时间试图找出"社区维基"究竟是什么.我了解到,有些人反对理论问题存在固有的偏见,我认为这只是一个错误,因为我们今天做的很多事情都是昨天的理论.但这种偏见是自然的,虽然我不同意理论的价值,但我对它没有任何问题,这有助于我理解我的学生来自哪里.我认为BS评论是不必要的.

我觉得这个问题根本不是一个民意调查或一个2009年的问题.那些只想要编码问题和编码答案的人可能想重新审视这个要求.我已将此问题移至社区维基,但强烈认为我不得不通过不当使用武力来这样做.

Answer 1

我建议向有限数学背景的人教授无限级别的第一步是"为什么数学家说偶数和一组整数都是相同的大小？" 这引入了"如果你可以将集合A的每个成员与集合B中的一个成员完全关联,那么数学家说这些集合具有相同的大小." 接下来显示使用对角线方法可以将每个分数(每个有理数)与一个计数数量相关联.一旦他们对此感到满意,我就会调出π,每个人都知道它的十进制表达式中有无数个非重复数字,这意味着它不能表示为分数,因此它将被遗留,这意味着无理数集合大于计数数字集合.一些明智的人会反对说,如果你在基数π工作,即_1π,π的位数是有限的,但是你可以用"呀,brainiac,用基数π记下一周内的天数来回到它们".

Answer 2

我认为你的解释是最简单的，因为这就是我所学到的。几乎就像实数具有无穷多个维度一样。它在一个方向上是无限的，但在另一个方向上也是无限的。

对角化是一个非常酷的实验，但我可以想象它会如何超越初学者的头脑。不过，如果以一种非常深思熟虑的方式、非常缓慢地进行演示，它确实是有意义的。我想，仅仅快速给出数字可能很难理解。

我认为连续体基数原理也很有帮助，尽管也许可以简化到初学者水平。表明除了简单的实数与整数之外还有更多的东西可以潜在地帮助某些东西“点击”。