计算4个点的任何四面体的体积

Question

我需要计算4分的"任意"四面体的体积.我正在写一个程序,需要找到四面体的体积,而我所知道的是:4点的所有X,Y,Z位置.该功能必须返回音量.我被困在这里10个小时......我想不出任何事情.谢谢!

Answer 1

假如你有4个顶点a,b,c,d(3-D向量).

现在,问题归结为编写解决向量的交叉积和点积的代码.如果您来自python,您可以使用NumPy,否则您可以自己编写代码.

维基百科链接绝对可以帮助您.链接

Answer 2

计算此卷的一种方法是:

     1      [ax bx cx dx]
V = --- det [ay by cy dy]
     6      [az bz cz dz]
            [ 1  1  1  1]

这涉及4×4行列式的评估.它很好地概括了更高维度的单纯形,其中6是n的特殊情况!,维度的阶乘.得到的体积将是定向的,即取决于点的顺序可以是负的.如果您不想这样,请取结果的绝对值.

如果你手头有一个数学库,上面的表述可能是最容易写下来的,并且软件可以从那里开始.如果没有,您可以通过从a到c减去d坐标来简化事情.这不会改变音量,但会将最右边的列转换为.因此,您可以简单地将矩阵的值计算为左上3×3子矩阵的行列式.并使用方程式(0, 0, 0, 1)

det(a,b,c)= a·(b×c)

你最终得到了苏里亚答案中的公式.

如果你没有点的坐标,而只是它们之间的距离,那么看看Tartaglia的公式,它几乎就是上面的平方版本,虽然它不像乍一看那样直截了当.

Answer 3

Ivan Seidel的示例，在Python中（答案为1.3333 ...）

def determinant_3x3(m):
    return (m[0][0] * (m[1][1] * m[2][2] - m[1][2] * m[2][1]) -
            m[1][0] * (m[0][1] * m[2][2] - m[0][2] * m[2][1]) +
            m[2][0] * (m[0][1] * m[1][2] - m[0][2] * m[1][1]))


def subtract(a, b):
    return (a[0] - b[0],
            a[1] - b[1],
            a[2] - b[2])

def tetrahedron_calc_volume(a, b, c, d):
    return (abs(determinant_3x3((subtract(a, b),
                                 subtract(b, c),
                                 subtract(c, d),
                                 ))) / 6.0)

a = [0.0, 0.0, 0.0]
d = [2.0, 0.0, 0.0]
c = [0.0, 2.0, 0.0]
b = [0.0, 0.0, 2.0]

print(tetrahedron_calc_volume(a, b, c, d))

Answer 4

以下是 PHP 代码，用于计算给定 4 个点的任何四面体的体积：

class Math{
public static function determinant(array $vals){
    $s = sizeof($vals);
    $sum = 0.0;
    for( $i=0; $i < $s ; $i++ ){
        $mult = 1.0;
        for($j=0; $j < $s ; $j++ ){
            $mult *= $vals[$j][ ($i+$j)%$s ];
        }
        $sum += $mult;
    }
    for( $i=0; $i < $s ; $i++ ){
        $mult = 1;
        for($j=0; $j < $s ; $j++ ){
            $mult *= $vals[$j][ ($i-$j < 0? $s - ($j-$i) :($i-$j)) ];
        }
        $sum -= $mult;
    }
    return $sum;
}

public static function subtract(array $a, array $b){
    for($i = 0; $i < sizeof($a); $i++)
        $a[$i] -= $b[$i];

    return $a;
}
}
// TEST CASE
$a = array(0,0,0);
$d = array(2,0,0);
$c = array(0,2,0);
$b = array(0,0,2);

echo abs(Math::determinant(array(
Math::subtract($a, $b),
Math::subtract($b, $c),
Math::subtract($c, $d),
)))/6;