从Euler ZXZ旋转转换为固定轴XYZ旋转

Question

我遇到的问题是,我需要从XYZ固定轴旋转转换为关于Z的欧拉旋转,然后是X',然后是Z''.

以下是相关的矩阵:

X:

Y:

Z:

结合,如Rz(psi)Ry(phi)Rx(theta)= Rxyz(theta,phi,psi); 他们给:

Rxyz:

和我想要的欧拉角特定惯例的旋转矩阵; 这是:

欧拉:

所以我最初的计划是比较矩阵元素,并提取我想要的角度; 我想出了这个(最后的实际当前代码):

但这在几种情况下不起作用.当Cos(theta)Cos(phi)== 1时最明显的是; 从那以后,Cos(beta)= 1,因此Sinβ= 0.其中Sin(beta)是代码中的s2.只有当Cos(theta)和cos(phi)= +/- 1时才会发生这种情况.

所以我马上就可以排除可能出现的情况;

当theta或phi = 0,180,360,540,...时,则Cos(θ)和Cos(phi)为+/- 1;

所以我只需要对这些案件做不同的事情;

我最终得到了这段代码:

public static double[] ZXZtoEuler(double ?, double ?, double ?){

    ? *= Math.PI/180.0;
    ? *= Math.PI/180.0;
    ? *= Math.PI/180.0;

    double ? = -1;
    double ? = -1;
    double ? = -1;

    double c2 = Math.cos(?) * Math.cos(?);

    ? = Math.acos(r(c2));

    if(eq(c2,1) || eq(c2,-1)){
        if(eq(Math.cos(?),1)){
            if(eq(Math.cos(?),1)){
                ? = 0.0;
                ? = ?;
            }else if(eq(Math.cos(?),-1)){
                ? = 0.0;
                ? = Math.PI - ?;
            }
        }else if(eq(Math.cos(?),-1)){
            if(eq(Math.cos(?),1)){
                ? = 0.0;
                ? = -?;
            }else if(eq(Math.cos(?),-1)){
                ? = 0.0;
                ? = ? + Math.PI;
            }
        }
    }else{

        //original way

        double s2 = Math.sin(?);

        double c3 = ( Math.sin(?) * Math.cos(?) )/ s2;
        double s1 = ( Math.sin(?) * Math.sin(?) + Math.cos(?) * Math.sin(?) * Math.cos(?) )/s2;

        ? = Math.acos(r(c3));
        ? = Math.asin(r(s1));

    }

    ? *= 180/Math.PI;
    ? *= 180/Math.PI;
    ? *= 180/Math.PI;

    return new double[] {r(?), r(?), r(?)};
}

其中r和eq只是两个简单的函数;

public static double r(double a){
    double prec = 1000000000.0;
    return Math.round(a*prec)/prec;
}

static double thresh = 1E-4;
public static boolean eq(double a, double b){
    return (Math.abs(a-b) < thresh);
}

eq只是比较测试的数字,而r是为了防止浮点错误推动数字超出Math.acos/Math.asin的范围并给我NaN结果;

(即偶尔我会以Math.acos(1.000000000000000004)或其他东西结束.)

其中考虑了围绕x和y旋转的4种情况,其中c2 == 1.

但现在问题出现了;

我上面所做的一切对我来说都是有道理的,但它没有给出正确的角度;

这是一些输出,在每对中,第一个是theta phi psi角度,每对中的第二个是相应的alpha beta伽马线.忽略舍入误差,它似乎是通过约一些角度

[0.0, 0.0, 0.0] - correct!
[0.0, 0.0, 0.0]

[0.0, 0.0, 45.0] - correct!
[0.0, 0.0, 45.0]

[0.0, 0.0, 90.0] - correct!
[0.0, 0.0, 90.0]

[0.0, 0.0, 135.0] - correct!
[0.0, 0.0, 135.0]

[0.0, 0.0, 180.0] - correct
[0.0, 0.0, 180.0]

[0.0, 0.0, 225.0] - correct
[0.0, 0.0, 225.0]

[0.0, 0.0, 270.0] - correct
[0.0, 0.0, 270.0]

[0.0, 0.0, 315.0] - correct
[0.0, 0.0, 315.0]

[0.0, 45.0, 0.0] - incorrect: should be [90, 45, -90]
[90.0, 44.999982, 90.0]

[0.0, 45.0, 45.0]
[45.000018, 44.999982, 90.0]

[0.0, 45.0, 90.0]
[0.0, 44.999982, 90.0]

[0.0, 45.0, 135.0]
[-45.000018, 44.999982, 90.0]

[0.0, 45.0, 180.0]
[-90.0, 44.999982, 90.0]

[0.0, 45.0, 225.0]
[-45.000018, 44.999982, 90.0]

[0.0, 45.0, 270.0]
[0.0, 44.999982, 90.0]

[0.0, 45.0, 315.0]
[45.000018, 44.999982, 90.0]

[0.0, 90.0, 0.0]
[90.0, 90.0, 90.0]

[0.0, 90.0, 45.0]
[45.000018, 90.0, 90.0]

[0.0, 90.0, 90.0]
[0.0, 90.0, 90.0]

[0.0, 90.0, 135.0]
[-45.000018, 90.0, 90.0]

[0.0, 90.0, 180.0]
[-90.0, 90.0, 90.0]

[0.0, 90.0, 225.0]
[-45.000018, 90.0, 90.0]

我认为这是由于Math.acos和Math.asin的工作方式,有人能想到一个解决方案吗？

编辑:math.asin和math.acos分别在-pi/2和pi/2以及0和pi之间返回值.这不是含糊不清的,所以我认为问题不在这里.好像我可能在某个地方有数学错误,但我在理论上看不到一个漏洞......

编辑2:对于任何人如何不知道欧拉旋转如何工作,它是这样的:

也就是说,围绕Z旋转,然后绕新的X轴(X')旋转,然后绕新的Z'轴旋转.

Answer 1

我还没有完全弄清楚这一点，但我确实注意到一件事：您使用 arccos/arcsin 函数，就好像 cos/sin 是双射的一样，只是取它们的倒数。但是，在计算 arccos 时，请考虑arc 函数的通解。例如，当 时cos y = x，则有两个（好吧，无限多个）解决方案：

\n\n

\n
• y = arccos x + 2kPI， 在哪里k element Z
\n
• y = 2PI - arccos x + 2kPI, k 如上
\n

\n\n

有了k=-1，最后一个方程就简化为

\n\n

\n
• y = -arccos x
\n

\n\n

所以总共，y = +- arccos x. cos这本质上可以归结为轴对称于 的事实x=0。类似的论证适用于arcsin，导致y = PI - asin x（k=0在 的通解中sin y = x）

\n\n

这立即适用于您的代码。该声明\xce\xb3 = Math.acos(r(c3));必须以某种方式考虑到该符号。我在这个问题上挣扎，必须有一个标准来找出“不正确”的解决方案。

\n