均匀矩阵有八个独立的矩阵元素比率？

Question

我正在读一些关于计算机视觉的论文.这看起来像一个简单的事实,但我无法理解.它是关于用于平面投影变换的同质[3×3]矩阵.据说它有八个独立的矩阵元素比例.我不知道比率是多少,八个独立比率是多少？请帮我解决这个问题.

谢谢.

Answer 1

这意味着两个投射变换P 并且kP是等价的.

考虑2D中的点:它可以通过向量以非齐次坐标表示[x,y].在齐次坐标中表示的相同点将在[x',y',w]哪里

x = x' / w
y = y' / w

如您所见,w表现为缩放因子.你得到的
是均匀坐标.因此,2D点仅具有两个自由度.w[x'/w, y'/w, 1] = [x,y,1]

您可以将相同的推理应用于3x3矩阵.在9个元素中,只有8个是独立的,而最后一个元素可以看作是缩放因子.实际上你选择的九个中的哪一个并不重要.

有关其他信息:同构坐标

编辑:DOF的数量是独立参数的数量.在2D点的例子,尽管我们有三个参数(x',y',w),只有两个独立的比率:正如我以前所示,如果通过划分w您的创举两个参数成为分数("比"是指司),同时第三个是简单的1.

对于3D点,它是相同的推理,但你必须考虑z轴:一般的3D点是[x',y',z',w](4个参数),但是,如果我们除以w它就变成[x'/w, y'/w, z'/w, 1]三个独立的比率.

我总是除以w因为比x'/w,y'/w,z'/w具有特定的含义(点的非齐次坐标),但要算你可以使用任何其他参数的自由度.

让我们考虑一个2x2矩阵的例子(对于3x3它是相同的,它只是更长的类型):

m11  m12
m21  m22

4个参数.按照您选择的那些之一划分(好吧,实际上是我选择的......),说它m12变成了

m11      1
---    
m12

m21     m22
---     ---
m12     m12

3个比率因此三个自由度(对于通用的2x2矩阵).例如,如果m21 = m12我们得到了

m11      
---      1
m12

        m22
 1      ---
        m12

因此,在这种情况下,我们只有2自由度!不要被这样的事实,你看到眼花缭乱m11,m22和m12(三个参数),因为其实你可以考虑 a = m11/m12和b= m22/m12,从而变得

a   1
1   b

这意味着两个独立的参数,因此两个自由度.

希望现在更清楚了