确定任意命题公式中变量的上限/下限

Question

给定任意命题公式PHI（某些变量具有线性约束），确定每个变量的（近似）上限和下限的最佳方法是什么？

一些变量可能是无界的。在这种情况下，算法应得出结论，这些变量没有上限/下限。

例如，PHI =（x = 3 AND y> = 1）。x的上限和下限均为3。y的下限为1，并且y没有上限。

这是一个非常简单的示例，但是是否有一般的解决方案（也许使用SMT求解器）？

Answer 1

这假设每个变量的 SAT/UNSAT 域是连续的。

1. 使用 SMT 求解器检查公式的解。如果没有解决方案，则意味着没有上限/下限，因此停止。
2. 对于公式中的每个变量，在变量的域上进行两次二分搜索，一次搜索下界，另一个搜索上限。每个变量搜索的起始值是步骤 1 中找到的解决方案中的变量值。使用 SMT 求解器探测每个搜索值的可满足性，并有条理地将每个变量的边界括起来。

搜索函数的伪代码，假设整数域变量：

lower_bound(variable, start, formula)
{
    lo = -inf;
    hi = start;
    last_sat = start;
    incr = 1;
    do {
        variable = (lo + hi) / 2;
        if (SMT(formula) == UNSAT) {
            lo = variable + incr;
        } else {
            last_sat = variable;
            hi = variable - incr;
        }
    } while (lo <= hi);
    return last_sat;
}

和

upper_bound(variable, start, formula)
{
    lo = start;
    hi = +inf;
    last_sat = start;
    do {
        variable = (lo + hi) / 2;
        if (SMT(formula) == SAT) {
            last_sat = variable;
            lo = variable + incr;
        } else {
            hi = variable - incr;
        }
    } while (lo <= hi);
    return last_sat;
}

-inf/+inf 是每个变量的域中可表示的最小/最大值。如果 lower_bound 返回 -inf 则该变量没有下限。如果 upper_bound 返回 +inf 则该变量没有上限。