如何使用Python和Numpy计算r平方？

Question

我正在使用Python和Numpy来计算任意度数的最佳拟合多项式.我传递了一个x值,y值和我想要拟合的多项式的程度列表(线性,二次等).

这很有用,但我也想计算r(相关系数)和r平方(确定系数).我将我的结果与Excel的最佳拟合趋势线能力以及它计算的r平方值进行比较.使用这个,我知道我正在为线性最佳拟合(度等于1)正确计算r平方.但是,我的函数不适用于度数大于1的多项式.

Excel可以做到这一点.如何使用Numpy计算高阶多项式的r平方？

这是我的功能:

import numpy

# Polynomial Regression
def polyfit(x, y, degree):
    results = {}

    coeffs = numpy.polyfit(x, y, degree)
     # Polynomial Coefficients
    results['polynomial'] = coeffs.tolist()

    correlation = numpy.corrcoef(x, y)[0,1]

     # r
    results['correlation'] = correlation
     # r-squared
    results['determination'] = correlation**2

    return results

Answer 1

一个非常晚的回复,但以防万一有人需要一个准备好的功能:

scipy.stats.stats.linregress

即

slope, intercept, r_value, p_value, std_err = scipy.stats.linregress(x, y)

就像@Adam Marples的回答一样.

Answer 2

从numpy.polyfit文档中,它是拟合线性回归.具体而言,具有度'd'的numpy.polyfit与平均函数拟合线性回归

E(y | x)= p_d*x**d + p_ {d-1}*x**(d-1)+ ... + p_1*x + p_0

所以你只需要计算该拟合的R平方.关于线性回归的维基百科页面提供了完整的详细信息.您对R ^ 2感兴趣,您可以通过几种方式计算,最简单的可能是

SST = Sum(i=1..n) (y_i - y_bar)^2
SSReg = Sum(i=1..n) (y_ihat - y_bar)^2
Rsquared = SSReg/SST

我使用'y_bar'表示y的平均值,'y_ihat'表示每个点的拟合值.

我对numpy(我通常在R中工作)并不十分熟悉,所以可能有一种更整洁的方法来计算你的R平方,但以下应该是正确的

import numpy

# Polynomial Regression
def polyfit(x, y, degree):
    results = {}

    coeffs = numpy.polyfit(x, y, degree)

     # Polynomial Coefficients
    results['polynomial'] = coeffs.tolist()

    # r-squared
    p = numpy.poly1d(coeffs)
    # fit values, and mean
    yhat = p(x)                         # or [p(z) for z in x]
    ybar = numpy.sum(y)/len(y)          # or sum(y)/len(y)
    ssreg = numpy.sum((yhat-ybar)**2)   # or sum([ (yihat - ybar)**2 for yihat in yhat])
    sstot = numpy.sum((y - ybar)**2)    # or sum([ (yi - ybar)**2 for yi in y])
    results['determination'] = ssreg / sstot

    return results

Answer 3

来自yanl(还有另一个图书馆)sklearn.metrics有一个r2_square功能;

from sklearn.metrics import r2_score

coefficient_of_dermination = r2_score(y, p(x))

Answer 4

我一直在成功使用它,其中x和y类似于数组.

def rsquared(x, y):
    """ Return R^2 where x and y are array-like."""

    slope, intercept, r_value, p_value, std_err = scipy.stats.linregress(x, y)
    return r_value**2

Answer 5

我最初发布下面的基准测试是为了推荐numpy.corrcoef,愚蠢地没有意识到原来的问题已经使用corrcoef,实际上是在询问高阶多项式拟合.我已经使用statsmodels为多项式r-squared问题添加了一个实际的解决方案,并且我已经离开了原始的基准测试,虽然偏离主题,但对某些人来说可能是有用的.

statsmodels有能力直接计算r^2多项式拟合,这里有两种方法......

import statsmodels.api as sm
import statsmodels.formula.api as smf

# Construct the columns for the different powers of x
def get_r2_statsmodels(x, y, k=1):
    xpoly = np.column_stack([x**i for i in range(k+1)])    
    return sm.OLS(y, xpoly).fit().rsquared

# Use the formula API and construct a formula describing the polynomial
def get_r2_statsmodels_formula(x, y, k=1):
    formula = 'y ~ 1 + ' + ' + '.join('I(x**{})'.format(i) for i in range(1, k+1))
    data = {'x': x, 'y': y}
    return smf.ols(formula, data).fit().rsquared # or rsquared_adj

为了进一步利用statsmodels,还应该查看拟合的模型摘要,可以在Jupyter/IPython笔记本中打印或显示为丰富的HTML表.除了之外,结果对象还提供对许多有用的统计指标的访问rsquared.

model = sm.OLS(y, xpoly)
results = model.fit()
results.summary()

以下是我原来的答案,我在那里对各种线性回归r ^ 2方法进行了基准测试......

问题中使用的corrcoef函数计算相关系数,r仅用于单个线性回归,因此它没有解决r^2高阶多项式拟合的问题.然而,对于它的价值,我发现对于线性回归,它确实是最快和最直接的计算方法r.

def get_r2_numpy_corrcoef(x, y):
    return np.corrcoef(x, y)[0, 1]**2

这些是我通过比较1000个随机(x,y)点的方法的时间结果:

• 纯Python(直接r计算)
  • 1000循环,最佳3:1.59 ms每循环
• Numpy polyfit(适用于n次多项式拟合)
  • 1000个循环,最佳3:326μs/循环
• Numpy手册(直接r计算)
  • 10000循环,最佳3:每循环62.1μs
• Numpy corrcoef(直接r计算)
  • 10000循环,最佳3:每循环56.6μs
• Scipy(r作为输出的线性回归)
  • 1000个循环,最佳3:676μs/循环
• Statsmodels(可以做n次多项式和许多其他拟合)
  • 1000个循环,最佳3:每循环422μs

corrcoef方法使用numpy方法以"手动"方式勉强计算r ^ 2.它比polyfit方法快5倍,比scipy.linregress快12倍.只是为了加强numpy为你做的事情,它比纯蟒蛇快28倍.我并不精通像numba和pypy这样的东西,所以其他人必须填补这些空白,但我认为这对我来说corrcoef是很有说服力的,这是计算r简单线性回归的最佳工具.

这是我的基准测试代码.我从Jupyter笔记本上复制粘贴(很难不称它为IPython笔记本......),所以如果有什么事情发生,我道歉.%timeit magic命令需要IPython.

import numpy as np
from scipy import stats
import statsmodels.api as sm
import math

n=1000
x = np.random.rand(1000)*10
x.sort()
y = 10 * x + (5+np.random.randn(1000)*10-5)

x_list = list(x)
y_list = list(y)

def get_r2_numpy(x, y):
    slope, intercept = np.polyfit(x, y, 1)
    r_squared = 1 - (sum((y - (slope * x + intercept))**2) / ((len(y) - 1) * np.var(y, ddof=1)))
    return r_squared

def get_r2_scipy(x, y):
    _, _, r_value, _, _ = stats.linregress(x, y)
    return r_value**2

def get_r2_statsmodels(x, y):
    return sm.OLS(y, sm.add_constant(x)).fit().rsquared

def get_r2_python(x_list, y_list):
    n = len(x)
    x_bar = sum(x_list)/n
    y_bar = sum(y_list)/n
    x_std = math.sqrt(sum([(xi-x_bar)**2 for xi in x_list])/(n-1))
    y_std = math.sqrt(sum([(yi-y_bar)**2 for yi in y_list])/(n-1))
    zx = [(xi-x_bar)/x_std for xi in x_list]
    zy = [(yi-y_bar)/y_std for yi in y_list]
    r = sum(zxi*zyi for zxi, zyi in zip(zx, zy))/(n-1)
    return r**2

def get_r2_numpy_manual(x, y):
    zx = (x-np.mean(x))/np.std(x, ddof=1)
    zy = (y-np.mean(y))/np.std(y, ddof=1)
    r = np.sum(zx*zy)/(len(x)-1)
    return r**2

def get_r2_numpy_corrcoef(x, y):
    return np.corrcoef(x, y)[0, 1]**2

print('Python')
%timeit get_r2_python(x_list, y_list)
print('Numpy polyfit')
%timeit get_r2_numpy(x, y)
print('Numpy Manual')
%timeit get_r2_numpy_manual(x, y)
print('Numpy corrcoef')
%timeit get_r2_numpy_corrcoef(x, y)
print('Scipy')
%timeit get_r2_scipy(x, y)
print('Statsmodels')
%timeit get_r2_statsmodels(x, y)

Answer 6

这是一个非常简单的 python 函数，假设 y 和 y_hat 是 pandas 系列，则根据实际值和预测值计算 R^2：

def r_squared(y, y_hat):
    y_bar = y.mean()
    ss_tot = ((y-y_bar)**2).sum()
    ss_res = ((y-y_hat)**2).sum()
    return 1 - (ss_res/ss_tot)

Answer 7

R 平方是仅适用于线性回归的统计量。

从本质上讲，它衡量的是线性回归可以解释数据中的多少变化。

因此，您计算“总平方和”，即每个结果变量与其均值的总偏差平方。. .

其中 y_bar 是 y 的平均值。

然后，您计算“回归平方和”，即您的 FITTED 值与平均值的差异

并找出这两者的比率。

现在，多项式拟合所需要做的就是插入来自该模型的 y_hat，但称其为 r 平方并不准确。

这是我发现的一个链接，可以稍微说明一下。

Answer 8

关于r-squareds的维基百科文章表明它可以用于一般模型拟合而不仅仅是线性回归.

Answer 9

这是一个使用Python和Numpy 计算加权 r平方的函数（大多数代码来自sklearn）：

from __future__ import division 
import numpy as np

def compute_r2_weighted(y_true, y_pred, weight):
    sse = (weight * (y_true - y_pred) ** 2).sum(axis=0, dtype=np.float64)
    tse = (weight * (y_true - np.average(
        y_true, axis=0, weights=weight)) ** 2).sum(axis=0, dtype=np.float64)
    r2_score = 1 - (sse / tse)
    return r2_score, sse, tse

例：

from __future__ import print_function, division 
import sklearn.metrics 

def compute_r2_weighted(y_true, y_pred, weight):
    sse = (weight * (y_true - y_pred) ** 2).sum(axis=0, dtype=np.float64)
    tse = (weight * (y_true - np.average(
        y_true, axis=0, weights=weight)) ** 2).sum(axis=0, dtype=np.float64)
    r2_score = 1 - (sse / tse)
    return r2_score, sse, tse    

def compute_r2(y_true, y_predicted):
    sse = sum((y_true - y_predicted)**2)
    tse = (len(y_true) - 1) * np.var(y_true, ddof=1)
    r2_score = 1 - (sse / tse)
    return r2_score, sse, tse

def main():
    '''
    Demonstrate the use of compute_r2_weighted() and checks the results against sklearn
    '''        
    y_true = [3, -0.5, 2, 7]
    y_pred = [2.5, 0.0, 2, 8]
    weight = [1, 5, 1, 2]
    r2_score = sklearn.metrics.r2_score(y_true, y_pred)
    print('r2_score: {0}'.format(r2_score))  
    r2_score,_,_ = compute_r2(np.array(y_true), np.array(y_pred))
    print('r2_score: {0}'.format(r2_score))
    r2_score = sklearn.metrics.r2_score(y_true, y_pred,weight)
    print('r2_score weighted: {0}'.format(r2_score))
    r2_score,_,_ = compute_r2_weighted(np.array(y_true), np.array(y_pred), np.array(weight))
    print('r2_score weighted: {0}'.format(r2_score))

if __name__ == "__main__":
    main()
    #cProfile.run('main()') # if you want to do some profiling

输出：

r2_score: 0.9486081370449679
r2_score: 0.9486081370449679
r2_score weighted: 0.9573170731707317
r2_score weighted: 0.9573170731707317

这对应于公式（mirror）：

其中f_i是来自拟合的预测值，y_ {av}是观测数据的平均值y_i是观测数据值。w_i是应用于每个数据点的权重，通常w_i = 1。SSE是由于误差引起的平方和，SST是平方和。

如果有兴趣的话，R中的代码：https : //gist.github.com/dhimmel/588d64a73fa4fef02c8f （mirror）