浮点算术:可能不安全地依赖于具体的比较？

Question

以下python代码根据一些变量计算执行内容的迭代次数.

  # a - b - c is always a multiple of d.
  i = (a - b - c) / d
  while i:
    # do stuff
    i -= 1

这些变量都将是同一种类型的,即只有ints或floats或什么的.我担心的是,如果值是否可以正常工作floats.我知道足以始终考虑依赖于精确浮点值的陷阱.但我不知道上述情况是否危险.我可以使用i = int(round((a - b - c) / d)),但我很好奇了解更好的花车.

这一切都归结为以下几点:a - b - c是一个完全相同的d.因此,我依赖于(a-b-c)/d成为一个i可以减去的值1并在while循环中获得预期的迭代次数,隐含的假设i == 0变为真.也就是说,像这样的计算倍数可以递减1来恰好达到0吗？

我不仅要知道它是否不安全,更重要的是,我需要了解浮点数来解决这样的问题？如果有人果断地知道这是否安全,是否有可能解释如何？

Answer 1

您可以使用十进制模块来了解浮点数之间“隐藏”的内容，例如0.3：

>>> from decimal import Decimal
>>> Decimal(0.3)
Decimal('0.299999999999999988897769753748434595763683319091796875')

请注意，Python 2.7 更改了浮点数的写入方式（repr(f)工作原理），因此它现在显示最短的字符串，如果您这样做，它将给出相同的浮点数float(s)。这意味着repr(0.3) == '0.3'在 Python 2.7 中，但repr(0.3) == '0.29999999999999999'在更早的版本中。我之所以提到这一点，是因为当您确实想了解数字背后的内容时，它可能会让事情变得更加混乱。

使用decimal模块，我们可以看到浮点数计算中的错误：

>>> (Decimal(2.0) - Decimal(1.1)) / Decimal(0.3) - Decimal(3) 
Decimal('-1.85037170771E-16')

这里我们可能期望(2.0 - 1.1) / 0.3 == 3.0，但是有一个小的非零差异。但是，如果您使用普通浮点数进行计算，那么您会得到零：

>>> (2 - 1.1) / 0.3 - 3
0.0
>>> bool((2 - 1.1) / 0.3 - 3)
False

由于 1.85e-16 不为零，因此结果会在某个位置进行舍入：

>>> bool(-1.85037170771E-16)
True

我不确定这个四舍五入到底发生在哪里。

至于一般的循环终止，我可以提供一个线索：对于小于 2 ⁵³的浮点数，IEEE 754 可以表示所有整数：

>>> 2.0**53    
9007199254740992.0
>>> 2.0**53 + 1
9007199254740992.0
>>> 2.0**53 + 2
9007199254740994.0

可表示的数字之间的间距为 2 从 2 ⁵³到 2 ⁵⁴，如上所示。但如果你i是一个小于 2 ⁵³的整数，那么i - 1也将是一个可表示的整数，你最终会命中0.0，这在Python中被认为是错误的。