scipy.linalg.eig返回协方差矩阵的复特征值？

Question

协方差矩阵的特征值应该是实数和非负的,因为协方差矩阵是对称的和半正定的.

但是,请看scipy的以下实验:

>>> a=np.random.random(5)
>>> b=np.random.random(5)
>>> ab = np.vstack((a,b)).T
>>> C=np.cov(ab)
>>> eig(C)
7.90174997e-01 +0.00000000e+00j,
2.38344473e-17 +6.15983679e-17j,
2.38344473e-17 -6.15983679e-17j,
-1.76100435e-17 +0.00000000e+00j,   
5.42658040e-33 +0.00000000e+00j

但是,在Matlab中重现上面的例子可以正常工作:

a = [0.6271, 0.4314, 0.3453, 0.8073, 0.9739]
b = [0.1924, 0.3680, 0.0568, 0.1831, 0.0176]
C=cov([a;b])
eig(C)
-0.0000
-0.0000
 0.0000
 0.0000
 0.7902

Answer 1

你提出了两个问题:

1. 返回的特征值scipy.linalg.eig不是真实的.
2. 一些特征值是负的.

这两个问题都是截断和舍入错误引起的错误的结果,这些错误总是发生在使用浮点运算的迭代算法中.请注意,Matlab结果也产生负特征值.

现在,对于问题的一个更有趣的方面:​​为什么Matlab的结果是真实的,而SciPy的结果有一些复杂的组件？

Matlab eig检测输入矩阵是真实对称还是Hermitian,并使用Cholesky分解.请参阅文档中的chol参数eig说明.这不是在SciPy中自动完成的.

如果要使用利用实对称或Hermitian矩阵结构的算法,请使用scipy.linalg.eigh.对于问题中的示例:

>>> eigh(C, eigvals_only=True)
array([ -3.73825923e-17,  -1.60154836e-17,   8.11704449e-19,
         3.65055777e-17,   7.90175615e-01])

如果您舍入到与Matlab打印的精度相同的位数,则此结果与Matlab相同.

Answer 2

由于浮点精度的限制，您遇到的是数值不稳定。

注意：

（1）MATLAB还返回了负值，但是打印格式设置为，short并且您看不到存储在内存中的double的完整精度。使用format long g打印更小数

（2）numpy的linalg.eig返回的所有虚部都接近于机器精度。因此，您应该将它们视为零。