计算多变量函数的局部极值的所有步骤

Question

我正在尝试创建一个Mathematica脚本,它将两个变量的函数作为输入,然后以详细的方式计算所有必要的步骤(找到第一个偏导数的根,检查相关的二阶条件)(例如,显示全部寻找局部极值点的偏导数.

大部分都是直截了当的,我最大的问题是如何重用Solve[]连续计算中找到的根.我开始是这样的:

f[x_,y_] :=  y^3 -3 x^2 y
dfx[x_,y_]:=D[f[x,y],x]
dfy[x_,y_]:=D[f[x,y],y]
dfxx[x_,y_]:=D[f[x,y],x, x]
dfyy[x_,y_]:=D[f[x,y],y, y]
dfx[x_,y_]:=D[f[x,y],x]
dfxy[x_,y_]:=D[f[x,y],x,y]
dff[x_,y_]:=dfxx[x,y]*dfyy[x,y]-(dfxy[x,y])^2
Solve[{dfx[x,y]==0, dfy[x,y]==0},{x,y}]
Apply[dff, %]
Evaluate[dff[%]]

我被困在这里,任何帮助都会很棒!

Answer 1

如果我们对这些衍生品使用即时而非延迟的分配,可能会稍微容易一些.(如果你想要更通用的东西,即处理任意函数f,使用本地范围的变量修改就不会太难.)我使用一个具有多个关键点的新函数.

f[x_, y_] := y^4 - y^3 - 3 x^2 y + x^4
dfx[x_, y_] = D[f[x, y], x];
dfy[x_, y_] = D[f[x, y], y];
dfxx[x_, y_] = D[f[x, y], x, x];
dfyy[x_, y_] = D[f[x, y], y, y];
dfxy[x_, y_] = D[f[x, y], x, y];
dff[x_, y_] = dfxx[x, y]*dfyy[x, y] - (dfxy[x, y])^2;
solns = {x, y} /. Solve[{dfx[x, y] == 0, dfy[x, y] == 0}, {x, y}];
realsolns = Select[solns, FreeQ[#, Complex] &]

以下是解决方案.

Out[87]= {{0, 0}, {0, 3/4}, {-(3/2), 3/2}, {3/2, 3/2}}

现在可以将下面的二阶导数雅可比应用于下面.

In[88]:= jacs = dff @@@ realsolns

Out[88]= {0, -(81/8), 243, 243}

Daniel Lichtblau Wolfram Research