求解形式Ax = B ==>错误的矩阵:矩阵接近单数或严重缩放

Question

我在解决Ax = B形式的系统时遇到了麻烦

该系统的解决方案应该是

x = inv(A)*B

但是,这不起作用.

我尝试上面的代码行时收到以下错误消息:

Warning: Matrix is close to singular or badly scaled.
     Results may be inaccurate. RCOND = 1.156482e-018. 

似乎matlab在反转我指定的矩阵时遇到了麻烦.我试着通过输入inv(A)*A来验证反函数是否正常工作

这应该给出单位矩阵,但是我得到了相同的错误和一些垃圾数.

这是我正在使用的A矩阵:

A = [5/2   1/2  -1     0     0    -1/2  -1/2   0     0
     1/2   1/2   0     0     0    -1/2  -1/2   0     0 
    -1     0     5/2  -1/2  -1     0     0    -1/2   1/2
     0     0    -1/2   1/2   0     0     0     1/2  -1/2
     0     0    -1     0     3/2  -1/2   1/2   0     0
    -1/2  -1/2   0     0    -1/2   2     0    -1     0  
    -1/2  -1/2   0     0     1/2   0     1     0     0 
     0     0    -1/2   1/2   0    -1     0     2     0 
     0     0     1/2  -1/2   0     0     0     0     1]

关于为什么这不起作用的任何想法？我还尝试将A转换为稀疏矩阵(稀疏(A)),然后运行inverse命令.没有骰子.

Answer 1

问题确实存在于你的数学中.您提供的矩阵不是完全排名,因此它不可逆.您可以手动验证(没有花时间这样做),但MATLAB已经通过显示警告来指出这一点.

由于您正在使用浮点数,这有时会导致其他微妙的问题,其中一个可以在结果中看到det(A),这个问题的顺序是1e-16,即机器精度,或者在实践中为0.

通过执行以下rank功能,您可以看到此Matrix不是完全排名:rank(A) = 8.对于9x9矩阵,这确实意味着矩阵对于双精度而言是不可逆的(因为该rank函数考虑了机器精度).

如果要使用MATLAB获得与手动计算相对应的结果,可以使用符号工具箱及其vpa(可变精度算术)来解决可能的数值问题,但代价是计算速度较慢.

B = [5  1 -2  0  0 -1 -1  0  0;
     1  1  0  0  0 -1 -1  0  0;
    -2  0  5 -1 -2  0  0 -1  1;
     0  0 -1  1  0  0  0  1 -1;
     0  0 -2  0  3 -1  1  0  0;
    -1 -1  0  0 -1  4  0 -2  0;
    -1 -1  0  0  1  0  2  0  0;
     0  0 -1  1  0 -2  0  4  0;
     0  0  1 -1  0  0  0  0  2];
A = B/2;
size(A)    % = [9 9]
det(A)     % = -1.38777878078145e-17
rank(A)    % = 8
C = vpa(A);
det(C)     % = 0.0
rank(C)    % = 8

无论是VPA还是浮点,你都会得到等级为8,大小为[9 9]且行列式实际为0,即单数或不可逆.更改一些条目可能会使您的矩阵规则(非单数),但不能保证其工作,它将解决不同的问题.

为了解决实际问题A*x=b的x,你可以尝试使用mldivide(又名反斜杠运营商)或摩尔-彭罗斯伪逆:

x1 = A\b;
x2 = pinv(A)*b;

但请记住,这样的系统没有唯一的解决方案,因此伪逆和反斜杠操作符可能(并且在这种情况下)将返回非常不同的解决方案,无论它们中的任何一个是否可接受,实际上取决于您的应用程序.

Answer 2

这正是它所说的.矩阵是单数的,这意味着它不能真正倒置.并非所有矩阵都可以.

在几何术语中,您有一个矩阵可以将一个9维对象转换为另一个9维对象,但完全展平一个维度.这无法撤消; 没有办法说出在那个方向上拉出来的距离.