没有三角函数的3D旋转？

Question

没有三角函数的3D旋转？

Nat*_*oos 1 math vector

我正在开发三维旋转轴算法.我的意见是

我正在旋转的轴,作为我中心点的矢量
中心点(显然)
我希望旋转的角度
我现在的位置

我想知道是否有一种方法可以在没有三角函数的情况下做到这一点,只需使用向量运算.有没有人有潜在的解决方案？

编辑:有没有一种方法,我可以每次旋转π/ 4弧度(45度),而不是输入角度theta？这可能会简化一些事情,我不知道.

Answer 1

eph*_*ent 7

旋转本质上是由良好描述的 $\罪$ 和 $\ COS$ .

这是一个方便的技巧,单位四元数很好地表示三维旋转以及(在一些意义上,优于)旋转矩阵.按角度转换旋转 $\ THETA$ 关于法线轴 $\ hat n =\left <x,y,z\right>$ 哪里 $x^2+y^2+z^2=1$ ,确实需要一点三角学: $\左(\ COS \左(\ frac12\THETA \右)\右)+ \左右(x \罪\左(\ frac12\THETA \右)\右)1 + \左(Y \罪\左(\ frac12\THETA \右)\右)J + \左(Z \罪\左(\ frac12\THETA \右)\右)K$ .

但从那以后它就是简单的算法.四元数 $q=a+bi+cj+dk$ 可以直接应用于旋转矢量 $Q(XI + YJ + ZK)●^ { - 1}$ ,或转换为旋转矩阵 $\左(\开始{矩阵} A ^ 2 + B ^ 2-C ^ 2-d ^ 2&2BC-2AD&2BD + 2AC\2BC + 2AD&一个^ 2-B ^ 2 + C ^ 2-d ^ 2&2CD-2AB\2bd- 2AC&2CD + 2AB&一个^ 2-b ^ 2-C ^ 2 + d ^ 2\{端矩阵} \右)$ .

当然,这是围绕原点的旋转.围绕任意点旋转 $o$ 在太空中,只需翻译 $-o$ 到原点,旋转,然后翻译 $o$ 回来.

归档时间：	14 年，1 月前
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最近记录：	8 年，3 月前