求解非方阵中的线性方程组

Question

我有一个线性方程组成一个NxM矩阵(即非方形),我需要解决 - 或至少试图解决,以表明没有解决方案的系统.(更可能的是,没有解决方案)

据我了解,如果我的矩阵不是正方形(过度或未确定),那么就找不到确切的解决方案 - 我是否正确地思考这个？有没有办法将矩阵转换为方阵以计算确定性,应用高斯消元法,克莱默定律等？

值得一提的是,我的未知数的系数可能为零,因此在某些极少数情况下,可能会有零列或零行.

Answer 1

矩阵是否为正方形不是决定解空间的因素.它是矩阵的秩与确定的列数相比较(参见秩无效定理).通常,对于线性方程组,您可以有零个,一个或无限多个解,这取决于它的秩和无效关系.

但是,要回答您的问题,您可以使用高斯消元法找到矩阵的秩,如果这表明存在解,则找到特定解x0和矩阵的零空间Null(A).然后,您可以将所有解决方案描述为x = x0 + xn,其中xn表示Null(A)的任何元素.例如,如果矩阵是满秩,则其零空间将为空,并且线性系统将具有至多一个解.如果它的等级也等于行数,那么您有一个唯一的解决方案.如果零空间的尺寸为1,那么您的解决方案将是一条穿过x0的线,该线上的任何点都满足线性方程.

Answer 2

好的，首先：非平方方程组可以有精确解

[ 1 0 0 ][x] = [1]
[ 0 0 1 ][y]   [1]
         [z] 

显然有一个解（实际上，它有一个一维的解族：x=z=1）。即使系统是超定而不是欠定，它仍然可能有一个解决方案：

[ 1 0 ][x] = [1]
[ 0 1 ][y]   [1]
[ 1 1 ]      [2]

(x=y=1)。您可能希望首先查看最小二乘法求解方法，如果存在，它会找到精确的解决方案，如果不存在，则找到“最佳”近似解决方案（在某种意义上）。