C语言中浮点数的舍入方式 当浮点数尾数超过23位时如何对超出部分进行舍入

Question

在计算中

123456789 (1 110 1011 0111 1001 1010 0010 101) 
      +20 (                            10 100)

C 中的结果是 123456816 (1 110 1011 0111 1001 1010 0110 000) 我发现它似乎被四舍五入，但在计算中

123456785 (1 110 1011 0111 1001 1010 0010 001)
      +20 (                            10 100) 

（结果是123456800）此时看起来像是向下舍入，两者合在一起看起来像是四舍五入

但

123456809 (1 110 1011 0111 1001 1010 0101 001) 

再说一遍，123456808 (1 110 1011 0111 1001 1010 0101 000)没有意义

我尝试在Google上找到答案，并总结了网友的意见，但仍然与上面的结果不符，所以我认为可能有一些细节我不知道，所以我希望你能帮助我弄清楚这个问题

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添加代码来演示：

#include <stdio.h>

int main(void) {
    float x = 123456789.f;
    float y = 20.f;
    
    long m = 123456789L;
    long n = 20L;
    
    printf("As Floats, sum is: %0.1f\n", x+y);
    printf("As Longs,  sum is: %ld\n", m + n);
    
    return 0;
}

输出

As Floats, sum is: 123456816.0
As Longs,  sum is: 123456809

Answer 1

该代码不包含 123,456,789 和 20 的浮点加法。它包含 123,456,792 和 20 的加法。有多个步骤（以下使用floatIEEE-754 二进制 32 常用的格式，它有 24 位有效数） :

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• 在 中float x = 123456789.f;，数字123456789.转换为float。转换的结果是最接近的可表示值 123,456,792，相当于 +15,432,099\xe2\x80\xa22 ³。请注意，在此形式中，有效数 15,432,099 适合 24 位。（下一个较低的可表示值是 +15,432,098\xe2\x80\xa22 ³ = 123,456,784，距离 123,456,789 更远。）
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• 在 中float y = 20.f;，数字20.转换为float。转换的结果是最接近的可表示值 20。
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• 在 中x+y，两个float值相加，因此我们将 123,456,792 和 20 相加。使用实数算术的结果将是 +15,432,099\xe2\x80\xa22 ³ + 20 = +15,432,101.5\xe2\x80\xa22 ³。但是，15,432,101.5 需要 25 位，因此不符合该float格式。两个最接近的可表示有效数是 15,432,101 和 15,432,102。它们同样接近，规则是使用偶数低位的数字。所以结果是 +15,432,102\xe2\x80\xa22 ³ = 123,456,816。
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