对钟形曲线进行逆向工程

Question

我模拟了以 50 为中心的正态分布中的数字，然后仅将数字保留在 0 到 100 之间：

mean <- 50
sd <- 15
n <- 100000

set.seed(123)  
numbers <- rnorm(n, mean, sd)

numbers <- pmax(0, pmin(numbers, 100))

正如预期的那样，结果看起来像钟形曲线：

然后，我想看看每个单位间隔之间的数字百分比是多少：

min_interval <- seq(0, 99, by = 1)
max_interval <- seq(1, 100, by = 1)


count <- sapply(min_interval, function(x) {
    sum(numbers >= x & numbers < (x + 1))
})
percentage <- count / length(numbers) * 100

df <- data.frame(min_interval = min_interval,
                 max_interval = max_interval,
                 count = count,
                 percentage = percentage)

结果看起来像这样：

library(dplyr)
df %>% arrange(desc(percentage))

    min_interval max_interval count percentage
1             50           51  2714      2.714
2             48           49  2632      2.632
3             49           50  2628      2.628
4             52           53  2626      2.626
5             47           48  2615      2.615

#> sum(df$percentage)
#[1] 99.957

我的问题：假设我想对此结果表 (df) 进行以下更改，以便：

• (min_interval = 50, max_interval = 51) 的百分比为 5%
• (min_interval = 49, max_interval = 50) 的百分比为 5%
• 百分比列的总和仍然为 1
• 情节仍保持其大致形状

如何重新计算百分比列以满足这些条件？可以为这个问题写一个通用的函数吗？（例如输入您想要的约束，优化算法会找到相应的钟形曲线）

相关问题

• https://math.stackexchange.com/questions/4804927/calculate-the-probabilities-of-a-100-side-weighted-dice

Answer 1

很高兴您使用模拟来学习统计数据，这是一种有趣的学习方式。

该函数pnorm告诉您正态分布（有时也称为“钟形曲线”）低于某个值的比例。您可以通过计算两点之间的值的差值来找到正态分布的比例pnorm。例如，根据您的参数，49 到 50 之间的预期比例是

pnorm(50,mean=50, sd=15) - pnorm(49, mean=50, sd=15)
# 0.02657646

或大约 2.657%，与模拟的 2.628% 相差不远。

要找到此范围内 5% 的正态分布，您可以创建一个函数来表示范围内的比例

f1 <- function(x) {
  pnorm(50,mean=50,sd=x) - pnorm(49, mean=50, sd=x)
}
plot(x <- seq(0,10,len=100),f1(x), type="l")
# horizontal line at 0.05, or 5%
abline(0.05,0)

所以你无法挑选出该房产所在的地块。

如果你想解决这个问题，请使用optimize找到该交叉发生的位置。交叉点f1(x) - 0.05为零时，因此定义f2为

f2 <- function(x) {
  abs(f1(x) - 0.05)
}

绝对值允许我们在唯一解处最小化函数

optimize(lower=5,upper=10,f=f2)
# $minimum
# [1] 7.957901
# 
# $objective
# [1] 3.038535e-08

这表明，如果将标准差设置为 7.956，则应该得到 49 到 50 之间分布的大约 5%。