离散傅里叶变换:如何正确使用ffthift与fft

Question

我想数值计算numpy数组Y上的FFT.为了测试,我使用高斯函数Y = exp(-x ^ 2).(符号)傅立叶变换是Y'=常数*exp(-k ^ 2/4).

import numpy
X = numpy.arange(-100,100)
Y = numpy.exp(-(X/5.0)**2)

天真的方法失败了:

from numpy.fft import *
from matplotlib import pyplot

def plotReIm(x,y):
    f = pyplot.figure()
    ax = f.add_subplot(111)
    ax.plot(x, numpy.real(y), 'b', label='R()')
    ax.plot(x, numpy.imag(y), 'r:', label='I()')
    ax.plot(x, numpy.abs(y), 'k--', label='abs()')
    ax.legend()


Y_k = fftshift(fft(Y))
k = fftshift(fftfreq(len(Y)))
plotReIm(k,Y_k)

实数(Y_k)在正值和负值之间跳跃,这对应于跳跃阶段,这在符号结果中不存在.这当然是不可取的.(结果在技术上是正确的,因为abs(Y_k)给出了预期ifft(Y_k)为Y的幅度.)

这里,函数fftshift()使数组k单调递增并相应地改变Y_k.通过对两个向量应用此操作,不会更改对zip(k,Y_k).

此更改似乎可以解决此问题:

Y_k = fftshift(fft(ifftshift(Y)))
k = fftshift(fftfreq(len(Y)))
plotReIm(k,Y_k)

如果需要单调Y和Y_k,这是使用fft()函数的正确方法吗？

以上的反向操作是:

Yx = fftshift(ifft(ifftshift(Y_k)))
x = fftshift(fftfreq(len(Y_k), k[1] - k[0]))
plotReIm(x,Yx) 

对于这种情况,文档清楚地指出Y_k必须与fft()和fftfreq()的输出进行排序,我们可以通过应用ifftshift()来实现.

那些问题一直困扰着我很长时间:fft()和ifft()的输出和输入数组是否总是如此a[0] should contain the zero frequency term, a[1:n/2+1] should contain the positive-frequency terms, and a[n/2+1:] should contain the negative-frequency terms, in order of decreasingly negative frequency[numpy reference],其中'frequency'是自变量？

关于高斯傅立叶变换的答案不是高斯不回答我的问题.

Answer 1

FFT 可以被认为是产生一组向量，每个向量都有幅度和相位。fft_shift 操作将零相位角的参考点从 FFT 孔径的边缘更改为原始输入数据矢量的中心。

完成此操作后，结果的相位（以及复矢量的实数分量）有时不会那么“跳跃”，特别是如果某些输入函数被加窗，使其在 FFT 孔径边缘周围不连续。或者，如果输入围绕 FFT 孔径中心对称，则 FFT 结果的相位在 fft_shift 后将始终为零。

fft_shift 可以通过 N/2 的向量旋转来完成，或者通过简单地翻转 FFT 结果中的交替符号位来完成，这可能对 CPU dcache 更友好。