为什么计算机科学中“(eps * 0.5) + 1”不大于“1”？

Question

我正在学习Matlab，我不明白为什么(eps * 0.5) + 1不大于1。

eps

ans =

     2.220446049250313e-16

fprintf('%.52f\n', eps);
0.0000000000000002220446049250313080847263336181640625
sign(eps)

ans =

     1

% 1 means that eps is >= 0
eps >= 0

ans =

  logical

   1

eps > 0

ans =

  logical

   1

eps < 0

ans =

  logical

   0

% so, now I take half of eps
my_half_eps = eps * 0.5;
my_half_eps

my_half_eps =

     1.110223024625157e-16

fprintf('%.52f\n', my_half_eps);
0.0000000000000001110223024625156540423631668090820312
sign(my_half_eps)

ans =

     1

% half eps is positive
my_half_eps >= 0

ans =

  logical

   1

my_half_eps > 0

ans =

  logical

   1

my_half_eps < 0

ans =

  logical

   0

fprintf('%.52f\n', (eps + 1));
1.0000000000000002220446049250313080847263336181640625
% correct
fprintf('%.52f\n', (my_half_eps + 1));
1.0000000000000000000000000000000000000000000000000000
% WHAT ???
diary off

我认为eps是我能加到 1 的最小数。那么，给小于的数加 1eps有这个问题吗？

Answer 1

当执行加法或几乎任何浮点运算时，正确舍入的结果¹如下所示：

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\n
• 我们使用实数算术计算出精确的结果。
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• 该结果被舍入为最接近的可表示数字（使用有效的舍入规则选择）。
\n

\n

最常见的舍入规则是四舍五入到最接近的可表示数字，如果出现平局，则四舍五入到具有偶数低位的数字。²

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在常用的精度格式中double，1 表示为：

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+1.00000000000000000000000000000000000000000000000 0 2 \xe2\x80\xa22 0

\n

（我用粗体标记了最后一个数字，以直观地标记其位置）。下一个可表示的数字是

\n

+1.00000000000000000000000000000000000000000000000 1 2 \xe2\x80\xa22 0

\n

eps，所谓\xe2\x80\x9cmachine epsilon，\xe2\x80\x9d为：

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+0.00000000000000000000000000000000000000000000000 1 2 \xe2\x80\xa22 0

\n

eps所以 \xc2\xbd加 1的实数运算结果为：

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+1.00000000000000000000000000000000000000000000000 0 1 2 \xe2\x80\xa22 0

\n

查看 1、\xc2\xbd + 1 的实数结果eps以及下一个可表示的数字，我们可以看到 \xc2\xbd eps+ 1 恰好位于两个可表示的数字之间的中间：

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+1.00000000000000000000000000000000000000000000000 0 2 \xe2\x80\xa22 0 \n+1.000000000000000000000000000000000000000000000000 0 0 1 2 \xe2\x80\xa22 0 \n+1.00000000000000000000000000000000000000000000000 1 2 \xe2\x80\xa22 0

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因此，\xc2\xbd 加 1 的浮点运算eps将产生偶数低位的邻居，即 1.00000000000000000000000000000000000000000000000 0 ₂ \xe2\x80\xa22 ⁰ = 1。

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如果将 \xe2\x85\x9d 添加eps到 1，结果将是下一个可表示的数字 1.00000000000000000000000000000000000000000000000 1 ₂ \xe2\x80\xa22 ⁰，因为实数结果将通过中间点，因此舍入将是下一个数字。

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脚注

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¹正弦和幂（幂）等困难运算通常是通过不正确的舍入来实现的。这仅适用于单个操作；多个操作的序列通常不会产生正确舍入的结果，除非专门设计和记录。

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²在严格限制的格式中，具有一位数精度，两个邻居都可能以奇数位结尾，如 9\xe2\x80\xa210 ⁰和 1\xe2\x80\xa210 ¹。在这种情况下，使用幅度较大的数字。

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