C++ 中算术运算和转换的机器值

Question

我是 C++ 编程新手。我想知道 C++ 中以下简单操作的结果会获得什么可能的机器值：

int a = 3;
double inv_a;

inv_a =  (double) 1 / (double) a;
std::cout << "a*(1/a) = " << std::setprecision(30) << (double) a * inv_a << std::endl;

例如，我想知道是否输出

(double) a * inv_a

对于 a 的任何可能的 int 值，作为双精度值始终大于或等于 1.000...0。是否有可能获得严格小于 1 但非常接近它的值，例如 0.999...？当我将结果转换为 int 时，我正在考虑这个问题。先感谢您。

我的实验总是给出准确的 1。

Answer 1

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例如，我想知道 的输出是否(double) a * inv_a始终大于或等于 1.000...0 作为双精度

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该关系不成立，因为使用 IEEE-754 二进制 64 (\xe2\x80\x9cdouble precision\xe2\x80\x9d) 算术，1./49*49产生 0.99999999999999988897769753748434595763683319091796875。

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当倒数进入低于正常范围时，结果可能大于 1。例如，对于a= 2 ¹⁰²³ +2 ⁹⁷¹，1/a*a是 1+2 ^{\xe2\x88\x9252}。这是因为次正常结果降低了精度，从而导致更大的误差。在正常范围内，不会出现这种情况。

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当所有涉及的值（包括倒数）都在正常范围内时，则成立反比关系；a * inv_a总是小于或等于 1，有时甚至更小。

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在这个答案中，代码字体中的表达式表示浮点计算。非代码字体的表达式表示普通实数算术。

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这里证明，只要我们保持在正常范围内并使用以 2 为基数的¹浮点格式并四舍五入到最接近的值，结果就不可能大于 1。考虑一些x。令p为 2 的幂，使得xp在 [1, 2) 中。只要我们在正常范围内，1/x*x= 1/(xp)*xp，其中xp= x*p，由于浮点表示的性质。因此，仅当 [1, 2) 中存在这样的x时，才存在满足 1<的x 。1/x*x

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由于使用舍入到最接近的值，并且 \xc2\xbd < 1/ x \xe2\x89\xa4 1, 1/x= 1/ x + 对于一些令人满意的 \xe2\x88\x92\xc2\xbd u \xe2\x89\xa4 \xe2\x89\xa4 +\xc2\xbd u，其中u是 [\xc2\xbd, 1) 中浮点数的最小精度单位。那么1/x\xe2\x80\xa2 x = (1/ x + ) x = 1 + x。由于x < 2， \xe2\x88\x92\xc2\xbd u \xe2\x89\xa4 \xe2\x89\xa4 +\xc2\xbd u意味着 \xe2\x88\x92 u < x < + u。因此1/x\xe2\x80\xa2 x在u和 1 之间。观察到，[\xc2\xbd, 1) 中数字的ULP是 [1, 2) 中数字 ULP 的一半。因此1/x\xe2\x80\xa2 x比 [1, 2) 中下一个更大的数字更接近 1。因此，在计算 时1/x*x，舍入到最接近的值不会产生大于 1 的结果。

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为了完整起见，请注意，如果a是零、NaN 或无穷大，则 将会产生 NaN 1/a*a，因此结果不会小于、等于或大于 1。并且，如果a是次正规的，1/a可以产生无穷大，所以1/a*a将是无穷大并且比较结果大于 1。

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笔记

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¹我预计这也适用于其他基地，但手头没有证据。

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