这个“Coapplicative”类是 Comonad 的超类吗？

Question

回忆一下Applicative班级：

class Functor f => Applicative f where
    pure :: a -> f a
    liftA2 :: (a -> b -> c) -> f a -> f b -> f c
    (<*>) :: f (a -> b) -> f a -> f b

    liftA2 h x y = fmap h x <*> y
    (<*>) = liftA2 id

尽管目前尚不清楚如何用（数学）范畴论来表达此类，但当定义以下函数时，情况就会变得清晰：

liftZ2 :: Applicative f => (f a, f b) -> f (a, b)
liftZ2 (x, y) = liftA2 (,) x y

在这里，(,)应该可以被识别为分类产品。用余积替换积并反转所有箭头给出以下类别：

class Functor f => Coapplicative f where
    copure :: f a -> a
    coliftZ2 :: f (Either a b) -> Either (f a) (f b)

一些实例：

import Data.Functor.Identity
import qualified Data.List.NonEmpty as NonEmpty
import Data.Either

instance Coapplicative Identity where
    copure (Identity x) = x
    coliftZ2 (Identity (Left x)) = Left (Identity x)
    coliftZ2 (Identity (Right y)) = Right (Identity y)

instance Coapplicative NonEmpty.NonEmpty where
    copure (x NonEmpty.:| _) = x
    coliftZ2 (Left x NonEmpty.:| xs) = Left (x NonEmpty.:| lefts xs)
    coliftZ2 (Right y NonEmpty.:| ys) = Right (y NonEmpty.:| rights ys)

instance Coapplicative ((,) e) where
    copure (_, x) = x
    coliftZ2 (e, Left x) = Left (e, x)
    coliftZ2 (e, Right y) = Right (e, y)

instance Monoid m => Coapplicative ((->) m) where
    copure f = f mempty
    coliftZ2 f = case copure f of
        Left x -> Left (fromLeft x . f)
        Right y -> Right (fromRight y . f)

我有一种强烈的直觉，它Coapplicative是 的超类Comonad，但我不知道如何证明它。另外，是否有Coapplicative一个不是 的实例Comonad？

Answer 1

这不是一个完整的答案，但我至少可以证明您的实例Coapplicative NonEmpty不能Comonad单独从方法派生；也就是说，如果有一些参数化的实现

coliftZ2 :: (Comonad w) => w (Either a b) -> Either (w a) (w b)

那么它不会生成您的实例NonEmpty。这是因为单独的方法Comonad NonEmpty无法为我们提供任何更改列表长度的方法，但您的NonEmpty实例会coliftZ2更改长度。因此，如果NonEmpty要成为Coapplicative，它必须以其他方式这样做，否则就Coapplicative不能成为 的超类Comonad。

当您进一步调查时，我认为值得探索 comonad

data Two a = Two a a
    deriving (Functor)

instance Comonad Two where
    extract (Two x _) = x
    duplicate (Two x y) = Two (Two x y) (Two y x)

并考虑其coliftZ2实施必须是什么。你还没有给出任何法律Coapplicative，但如果你这样做了，我会把钱花在打破这些法律上，因为没有任何实现coliftZ2是令人满意的对称的。下面的两个方程都相当牵强，但它们似乎表明了非常不同的操作意图：

coliftZ2 (Two (Left x) (Left y)) = Left (Two x y)
coliftZ2 (Two (Left x) (Right _)) = Left (Two x x)

在我看来，最能阐明这一点的问题是：我们应该对与 comonad 方法的关系有何期望？coliftZ2