通过投影测量计算二量子位系统中的 CHSH 不等式违规

Question

假设两个量子位系统处于状态 |\xce\xa6\xe2\x9f\xa9 = (|00\xe2\x9f\xa9 + |11\xe2\x9f\xa9 )/ \xe2\x88\x9a2。考虑结果为 \xc2\xb11 的投影测量。计算 CHSH 不等式的最大违反并找到可导致最大违反的测量设置。

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我是量子计算的新手。我不知道如何解决这个问题。

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Answer 1

我是一个坚强的人，也是一个我也曾与之斗争的人。计算给定二量子位状态的 CHSH 不等式的最大违反 |\xce\xa6\xe2\x9f\xa9 = (|00\xe2\x9f\xa9 + |11\xe2\x9f\xa9 )/ \xe2\ x88\x9a2，我们需要考虑四种不同的测量设置并计算相应的期望值。

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CHSH不等式表达如下：

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CHSH = E(A, B) + E(A, B') + E(A', B) - E(A', B') \xe2\x89\xa4 2,

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其中 A、A' 是第一个量子位的测量设置，B、B' 是第二个量子位的测量设置，E(A, B) 是测量设置 A 和 B 的期望值。如果说得通？

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现在考虑四种测量设置：

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设置 1：\nA = \xcf\x83z（第一个量子位的计算基础中的测量）\nB = \xcf\x83z（第二个量子位的计算基础中的测量）

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在这种情况下，期望值E(A,B)可以计算如下：

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E(A, B) = \xe2\x9f\xa8\xce\xa6|A \xe2\x8a\x97 B|\xce\xa6\xe2\x9f\xa9 = \xe2\x9f\xa8\xce\xa6|( \xcf\x83z \xe2\x8a\x97 \xcf\x83z)|\xce\xa6\xe2\x9f\xa9。

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展开张量积并代入 |\xce\xa6\xe2\x9f\xa9 = (|00\xe2\x9f\xa9 + |11\xe2\x9f\xa9 )/ \xe2\x88\x9a2：

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E(A, B) = \xe2\x9f\xa8\xce\xa6|(\xcf\x83z \xe2\x8a\x97 \xcf\x83z)|\xce\xa6\xe2\x9f\xa9\n= (1 /\xe2\x88\x9a2)(\xe2\x9f\xa800|(\xcf\x83z \xe2\x8a\x97 \xcf\x83z)|00\xe2\x9f\xa9 + \xe2\x9f\xa800|(\ xcf\x83z \xe2\x8a\x97 \xcf\x83z)|11\xe2\x9f\xa9 + \xe2\x9f\xa811|(\xcf\x83z \xe2\x8a\x97 \xcf\x83z)|00\xe2 \x9f\xa9 + \xe2\x9f\xa811|(\xcf\x83z \xe2\x8a\x97 \xcf\x83z)|11\xe2\x9f\xa9)\n= (1/\xe2\x88\x9a2) (1 + 1 + 1 - 1)\n= 2/\xe2\x88\x9a2\n= \xe2\x88\x9a2。

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设置 2：\nA = \xcf\x83x（第一个量子位的 Hadamard 基中的测量）\nB = \xcf\x83z（第二个量子位的计算基中的测量）

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在这种情况下，期望值E(A,B)可以计算如下：

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E(A, B) = \xe2\x9f\xa8\xce\xa6|A \xe2\x8a\x97 B|\xce\xa6\xe2\x9f\xa9 = \xe2\x9f\xa8\xce\xa6|( \xcf\x83x \xe2\x8a\x97 \xcf\x83z)|\xce\xa6\xe2\x9f\xa9。

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使用与上面相同的步骤，我们发现：

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E(A, B) = -1/\xe2\x88\x9a2。

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设置 3：\nA = \xcf\x83z（第一个量子位的计算基础中的测量）\nB = \xcf\x83x（第二个量子位的哈达玛基础中的测量）

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在这种情况下，期望值E(A,B)可以计算如下：

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E(A, B) = \xe2\x9f\xa8\xce\xa6|A \xe2\x8a\x97 B|\xce\xa6\xe2\x9f\xa9 = \xe2\x9f\xa8\xce\xa6|( \xcf\x83z \xe2\x8a\x97 \xcf\x83x)|\xce\xa6\xe2\x9f\xa9。

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使用与上面相同的步骤，我们发现：

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E(A, B) = -1/\xe2\x88\x9a2。

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设置 4：\nA = \xcf\x83x（第一个量子位的 Hadamard 基中的测量）\nB = \xcf\x83x（第二个量子位的 Hadamard 基中的测量）

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在这种情况下，期望值E(A,B)可以计算如下：

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E(A, B) = \xe2\x9f\xa8\xce\xa6|A \xe2\x8a\x97 B|\xce\xa6\xe2\x9f\xa9 = \xe2\x9f\xa8\xce\xa6|( \xcf\x83x \xe2\x8a\x97 \xcf\x83x)|\xce\xa6\xe2\x9f\xa9。

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使用与上面相同的步骤，我们发现：

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E(A, B) = -\xe2\x88\x9a2。

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现在，我们来计算 CHSH 不等式的最大违反情况：

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CHSH = E(A, B) + E(A, B') + E(A', B) - E(A', B')\n= \xe2\x88\x9a2 + (-1/

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希望对您有帮助。

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