Haskell 中 Monad 和 Functor 类型类的 Monad 和 Functor 定律

Question

我是一个有点经验的函数式程序员，但我一直对声明 \xe2\x80\x9cA monad is just a monoid in the Category of endofunctors\xe2\x80\x9d 以及 Haskell 中 monads/functors 的实际实现感到困惑其他函数式语言。

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根据 Haskell Wiki，\n https://wiki.haskell.org/Functor

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class Functor f where\n    fmap :: (a -> b) -> f a -> f b\n    (<$) :: a -> f b -> f a\n

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函子定律

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函子必须保留恒等态射

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fmap id = id\n

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函子保留态射的组成

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fmap (f . g)  ==  fmap f . fmap g\n

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我很明白这一点，所以不需要进一步解释；然而，当我们使用 monad 运算符时>>=，现在我们有了 Monad 实现和 Monad 法则

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https://wiki.haskell.org/Monad_laws

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在这里，我\xe2\x80\x99m并不质疑每个实现和规则。我\xe2\x80\x99m想知道的是，如果我们说\xe2\x80\x9cevery Monad是一个endofunctor，因为monad只是endofunctors\xe2\x80\x9d类别中的一个幺半群，我希望一个monad实例满足函子定律，但实际上并非如此。

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或者，虽然 monad 是一个内函子，但该实例有 2 个态射，分别是>>=和fmap。这两个态射有独立的定律吗？

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我知道函子定律来自范畴论，并且单子满足幺半群定律。但同样，如果一个单子是一个函子，我不明白为什么它不满足函子定律。

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例如，

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fmap id = id\n

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如果我更改此代码将不起作用

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fmap (f . g)  ==  fmap f . fmap g\n

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Answer 1

首先，单子有两个等效的定义。第一个直接对应于“endofunctors 的幺半群”：

类 Functor m => Monad m 其中
  返回::a->ma
  加入 :: m (ma) -> ma

在这里，我们明确假设m是一个内函子。内函子的幺半群“张量积”由它们的组成给出。从到join的“方块”的箭头也是如此；它在我们的幺半群中定义了“乘法”。是从恒等函子到 的箭头；它定义了幺半群单位。存在与左/右单位和结合性相关的三个幺半群定律。mmreturnmjoinreturn

MonadHaskell 中使用的定义使用 bind而>>=不是join。使用bind定义的monad自动成为一个endofunctor，fmap定义为：

liftM :: Monad m => (a -> b) -> ma -> mb
liftM f ma = ma >>= 返回 。F

第一个定义中的（相对简单的）幺半群定律转化为以下定律：

返回 a >>= k = ka
ma >>= 返回 = ma
ma >>= (\x -> kx >>= h) = (ma >>= k) >>= h

函子法则liftM遵循这些法则。例如，您可以使用以下步骤推导组合定律：

（升力M f . 升力M g）ma
= liftM f (ma >>= (返回 . g))
= (ma >>= (return .g)) >>= return .g F
= ma >>= (\x -> ((return (gx)) >>= return .f))
= ma >>= (\x -> return (f (gx)))
= liftM (f . g) ma

Answer 2

出于理论目的，通常最好忘记>>=，我们不需要它。这些类型类的数学风格定义如下所示：

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class Functor f where\n  fmap :: (a -> b) -> f a -> f b\nclass Functor f => Applicative f where -- aka Monoidal\n  pure :: a -> f a\n  liftA2 :: (a -> b -> c) -> f a -> f b -> f c  -- \xe2\x80\xa0\nclass Applicative m => Monad m where\n  join :: m (m a) -> m a\n

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（然后您可以继续定义x>>=f = join (fmap f x)，但这只是为了方便。）

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由此应该清楚的是，任何讨论都与[1, 2, 3] >>= id单子是否是函子的问题无关。单子作为函子的含义就在类头中：Monad是 的子类Functor。因此，任何 monad 都fmap可用，这fmap仍然是满足函子定律所需的，无论您现在也有那些更高级的方法可用。

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\xe2\x80\xa0或_{是否更数学化是有争议的。原则上我们应该讨论带有签名的函数，但严格来说，它仅适用于关联张量积。Haskell 元组近似于此，但仅在尴尬的“与”同构的情况下。柯里化函数的好处是隐藏了这种关联性，但付出的代价是我们需要处理指数对象，这一切都变得更加混乱。无论如何，我总是发现比 更容易理解。liftA2<*>(a\xe2\x8a\x97b -> c) -> f a\xe2\x8a\x97f b -> f c((a,b),c)(a,(b,c))<*>liftA2<*>}

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