Mathematica积分评估只是显示为格式良好的文本？

Question

尝试以下指数积分:

Integrate[  Exp[-2 A Sqrt[x^2 + a^2] + I ( x Subscript[k, x] + b )],
            {x, 0,   Infinity}
]

我找回了一些非常印刷但没有评估过的东西？这是否意味着Mathematica无法执行积分并放弃？我没有看到任何消息说这是发生了什么.

为了提供这个问题的上下文,这是一个我用纸和笔完成的积分的一维版本:

\int d^3 r e^{ i \vec{k} \cdot \vec{r} } e^{ - 2 Z r/ a_0 }

尝试mathematica的目的是看我是否可以验证我的结果:

16 \pi Z a_0^3/(4 Z^2 + k^2 a_0^2)^2

Answer 1

正确的是,当Mathematica将积分向外吐出时,通常意味着它不知道该怎么做.有时,它只能在某些假设下(例如"a> 0"和真实)进行积分,但它通常会给出答案作为一个巨大的if语句.

你拥有的这个特殊的积分并非微不足道.它不符合我熟悉的任何特殊功能的形式.因此,就Mathematica所具有的特殊功能而言,它可能无法以封闭形式表达.

另外,有什么意义Subscript[k, x]呢？我尝试删除它,Mathematica仍然不能做积分.

Answer 2

通过简单的变量更改,"简单"的情况Exp[-2 A Sqrt[a^2 + x^2]产生了自我感知:

Integrate[Exp[-2*A*Sqrt[a^2 + x^2]]*Dt[x] /. x -> Sqrt[t^2 - a^2] /. Dt -> (1 & ), {t, a, Infinity}, Assumptions -> a > 0 < A]

要得到

a*(-BesselK[0, 2*a*A] + BesselK[1, 2*a*A])