即使四舍五入到最接近的值，浮点乘法也会导致无穷大

Question

考虑以下 C++ 代码：

#include <fenv.h>
#include <iostream>
using namespace std;

int main(){
    fesetround(FE_TONEAREST);
    double a = 0x1.efc7f0001p+376;
    double b = -0x1.0fdfdp+961;
    double c = a*b;
    cout << a << " "<< b << " " << c << endl;
}

我看到的输出是

2.98077e+113 -2.06992e+289 -inf

我不明白为什么c是无穷大。我的理解是，无论最小的非无穷大浮点数是多少，它都应该更接近实际值，a*b因为-inf最小非无穷大浮点数是有限的，并且任何有限数都比负无穷更接近任何其他有限数。为什么这里会输出无穷大呢？

它在 64 位 x86 上运行，并且程序集使用 SSE 指令。它是用 -O0 编译的，并且在 clang 和 gcc 中都会发生。

如果对浮点使用向零舍入模式，则结果是最小有限浮点。我的结论是这个问题与四舍五入有关。

Answer 1

舍入不是这里的主要问题。结果无限大是由于溢出造成的。

\n

此答案遵循 IEEE 754-2019 中的规则。_{1.EFC7F0001 16} \xe2\x80\xa22 ³⁷⁶和 \xe2\x88\x921.0FDFD ₉₆₁ \xe2\x80\xa22 ¹⁶的实数算术乘积约为 \xe2\x88\x921.07430C8649FEFE8 ₁₆ \xe2\ x80\xa22 ¹³³⁵。在正常情况下，如果浮点运算首先生成一个精确到无限精度且范围无界的中间结果，然后对该结果进行舍入，则它会生成结果 \xe2\x80\x9cas，然后舍入该结果\xe2\x80\xa6\xe2\x80\x9d （IEEE 754-2019 4.3）。然而，我们不具备正常的条件。IEEE 754-2019 7.4 说：

\n

\n

当且仅当目标格式\xe2\x80\x99 的最大有限数的大小超出了指数范围无界\xe2\x80 的舍入浮点结果（参见 4）时，才会发出溢出异常信号\xa6

\n

\n

换句话说，如果我们对结果进行四舍五入，就好像我们可以有任何指数一样（因此我们只是对有效数字进行四舍五入），结果将是 \xe2\x88\x921.07430C8649FF+964 ₁₆ \xe2\x80\xa22 ¹³³⁸。但其大小超出了double可以表示的最大有限数 \xc2\xb11.FFFFFFFFFFFFF ₁₆ \xe2\x80\xa22 ¹⁰²³。因此，会发出溢出异常信号，并且由于您没有捕获该异常，因此会传递默认结果：

\n

\n

\xe2\x80\xa6 默认结果由舍入方向属性和中间结果的符号确定，如下所示：

\n

a) roundTiesToEven 和 roundTiesToAway 将所有溢出携带到 \xe2\x88\x9e 以及中间结果的符号\xe2\x80\xa6

\n

\n