为什么浮点数尾数的位宽表示的数字是 int 的两倍？

Question

有人告诉我，doubleC++ 中的 a 有一个尾数，能够安全、准确地表示 [-(2 ⁵³ \xe2\x88\x92 1), 2 ⁵³ \xe2\x88\x92 1] 整数。

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当尾数只有 52 位时，这怎么可能呢？为什么 anint16只能具有 [-32,768, +32,767] 或 [-2 ¹⁵ , 2 ¹⁵ -1] 的范围，而同样的东西可以用来int16允许两倍的可表示数字？

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Answer 1

（64位）的格式double如下：

1 bit: sign
11 bits: exponent
52 bits: mantissa

我们只需要查看可以用尾数表示的正整数，因为符号位为我们处理负整数。

天真地，用 52 位，我们可以存储从 0 到 2^52 - 1 的无符号整数。使用符号位，这让我们可以存储从-2^52 - 1到2^52 - 1。

不过，我们有一个可以使用的小技巧。我们说整数的第一个数字始终是1，这给了我们一个额外的位来使用。

为了了解其原理，让我们更深入地研究一下。

1每个正整数在其二进制表示中都至少有一个。因此，我们使用指数向左或向右移动尾数，直到开始时得到 1。一个例子可能会有所帮助：

9、表示为unsigned int：（000...0001001点代表多个0s）。

另一种写法：1.001 * 2^3. （1.001是二进制，不是十进制。）

而且，我们同意永远不使用 0 作为第一位。因此，即使我们可以将 9 写为0.1001 * 2^4或0.01001 * 2^5，但我们不会。我们同意，当我们以这种格式写出数字时，我们将始终确保使用指数来“移动”位，直到我们以 开头1。

那么，我们需要存储获取的信息9如下：

e: 3
i: 1.001

但如果i总是以 开头1，为什么每次都要写出来呢？让我们保留以下内容：

e: 3
i: 001

正是利用这些信息，我们可以将数字重构为：1.i * 2^e == 9。

当我们达到更大的数字时，我们的“ i”会更大，可能会使用最多 52 位，但我们实际上存储的是53信息位，因为1我们总是有前导。

最后注意：这并不完全是存储在双精度数的指数和尾数中的内容，我已经简化了一些内容以帮助解释，但希望这可以帮助人们理解丢失的位来自哪里。另外，这不包括0，它得到一个特殊的表示（上面使用的技巧不适用于0，因为 的通常表示中0没有任何1s ）。