如果我们继续将 float 1.0 除以 2 直到它达到零，会发生什么？

Question

float f = 1.0;
while (f != 0.0) f = f / 2.0;

该循环使用 32 位精度运行 150 次。为什么会这样？它是否四舍五入为零？

Answer 1

在常见的 C 实现中，IEEE-754 二进制 32 格式用于float. 它也称为 \xe2\x80\x9c 单精度。\xe2\x80\x9d 它是一种基于二进制的格式，其中有限数表示为 \xc2\xb1 f \xe2\x80\xa22 ^e，其中f是 24 位[1, 2) 和e中的二进制数字是 [\xe2\x88\x92126, 127] 中的整数。

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在此格式中，1 表示为 +1.00000000000000000000000 ₂ \xe2\x80\xa22 ⁰。将其除以 2 得到 \xc2\xbd，表示为 +1.00000000000000000000000 ₂ \xe2\x80\xa22 ^{\xe2\x88\x921}。除以 2 得到 +1.00000000000000000000000 ₂ \xe2\x80\xa22 ^{\xe2\x88\x922}，然后 +1.000000000000000000000000 ₂ \xe2\x80\xa22 ^{\xe2\x88\x923}，依此类推直到我们达到 +1.00000000000000000000000 ₂ \xe2\ x80\xa22 ^{\xe2\x88\x92126}。

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当除以二时，数学结果为 +1.00000000000000000000000 ₂ \xe2\x80\xa22 ^{\xe2\x88\x92127}，但 \xe2\x88\x92127 低于正常指数范围， [\xe2\x88\x92126, 127 ]。相反，有效数变得非规范化；2 ^{\xe2\x88\x92127由 +0.10000000000000000000000} ₂ \xe2\x80\xa22 ^{\xe2\x88\x92126}表示。除以 2 得到 +0.01000000000000000000000 ₂ \ xe2 \x80\xa22 \ ^{xe2\x88\x92126}，然后 +0.001000000000000000000000 _{2 \xe2\x80} ^{\xa22 \xe2\x88\x92126} , +0.00010000000000000000000 ₂ \xe2\x80\xa22 ^{\xe2\ x88\x92126}，依此类推，直到 +0.00000000000000000000001 ₂ \xe2\x80\xa22 ^{\xe2\x88\x92126}。

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至此，我们已经完成了149次除以2；+0.00000000000000000000001 ₂ \xe2\x80\xa22 ^{\xe2\x88\x92126}是 2 ^{\xe2\x88\x92149}。

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执行下一次除法时，结果将是 2 ^{\xe2\x88\x92150}，但这无法以此格式表示。即使使用最低的非零有效数 0.00000000000000000000001 ₂和最低的指数 \xe2\x88\x92126 ，我们也无法得到 2 ^{\xe2\x88\x92150}。下一个较低的可表示数字是 +0.00000000000000000000000 ₂ \xe2\x80\xa22 ^{\xe2\x88\x92126}，等于 0。

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因此，除法的实数算术结果将是 2 ^{\xe2\x88\x92150}，但我们不能用这种格式表示。两个最接近的可表示数字是 +0.000000000000000000000001 ₂ \xe2\x80\xa22 ^{\xe2\x88\x92126}就在它上面， +0.0000000000000000000000000 ₂ \xe2\x80\xa22 ^{\xe2\x88\x92126}就在它上面在它下面。它们同样接近 2 ^{\xe2\x88\x92150}。默认舍入方法是取最接近的可表示数字，如果出现平局，则取偶数低位的数字。所以 +0.00000000000000000000000 ₂ \xe2\x80\xa22 ^{\xe2\x88\x92126赢得平局，这是第 150次}的结果^。

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